4-益古演段卷下
益古演段卷下 元 李冶 撰第四十三問
今有圓田三段【一依古法一依密率一依徽率】共計地二十畝五十二步一百七十五分步之二十三只云密徑多於古徑九步徽徑多於密徑九步問三徑各多少
答曰古徑三十六步 密徑四十五步 徽徑五
十四步
法曰立天元一為古徑加多九步得
□丨為密徑以自之得下□□丨為
密徑冪又以十一乘之得□□□為
十四段密圓積於頭又立天元古徑
加二之多步一十八步得□丨為徽
徑以自之得□□丨為徽徑冪也又
以一百五十七乘之得□□□為二
百段徽圓積於中【按徽率周一百五十七徑五十徑乘】
【周四歸為圓冪今以徑冪乘周當以徑五十除之再四歸之為圓冪不除便為五十乘之又四乘之之二百圓冪也】又置天元古徑以自之又三之得【元○】□為四段古圓積於下乃求三積齊同分母而併之先以分母一萬七千五百【按此即十四除二十四萬五十之數】乘十四段密圓積得□□□為二十四萬五千段密圓積於頭位次以分母一千二百二十五乘二百段徽積得□□□為二十四萬五千段徽積於中位次以分母六萬一千二百五十乘四段古積得○○□為二十四萬五千段古積於下位三位相併得□□□為二十四萬五千段如積數寄左然後列見積通分内子得八十四萬九千一百二十三就分以一千四百乘之得一十一億八千八百七十七萬二千二百與左相消得下式□□□平方開之得三十六步為方徑也各加多步見徽密二徑也 義曰所以齊同於二十四萬五千段者以元母一百七十五乘一千四百得此數依條段求之以一千四百乘田積於頭位置徽徑多古徑自之為冪又以一千九十九【按置一千四百分以徽圓冪率一百五十七乘之方冪率二百除之即得】乘之減頭位續置密徑多古徑自之為冪又以一千一百【按置冪十】一【千四百分以密率圓乘之方冪十四除之即得】乘之復減頭位餘為實又倍徽徑多古徑以千九十九乘之為徽從又倍密徑多古徑以一千一百乘之為密從併二從得五萬九千三百六十四為從法亷常置三千二百四十九
義曰以一千四百乘積者取其三率皆可以除之也
齊同分母須至於二十四萬五千
段者蓋以分母一百七十五元乘
積數一千四百此二數相乘得二
十四萬五千也
此問求真積實數 古徑三十六得積九百七十二步 密徑四十五步得積一千五百九十一步一十四分步之一 徽徑五十四步得積二千二百八十九步二百分步之一十二併三積全步四千八百五十二步外【密零一十四分步之一徽零二百分步之一十二】以上維乘下位【密子得二百分 徽子得一百六十八分】相併得三百六十八分為子實又上二位相乘得二千八百分為母法子母俱以十六約之為一百七十五分步之二十三 一千四百乘田積來歷盖只就密率上定之也置一千四百在地以密率十一之如十四而一為一千一百積 若以古率三之四而一則得一千五十積 若以徽率一百五十七乘之如二百而一得一千九十九積所以用一千四百乘積者緣古法四徽法二百皆可以除之也 求三積齊同分母元分母數一百七十五元乘積數一千四百此二數相乘二十四萬五千即大分母也三積總率皆齊同於此既得此齊同分母乃各以先求到段數約之徽率得一千二百二十五密率得一萬七千五百古率得六萬一千二百五十故反以乘段數皆齊同於二十四萬五千也
按條段分母數簡於前法者用舊術也然各分母之數猶有可省者盖衆數取分母數必得最小者方爲確凖其義見秦九韶數學九章大衍術中今附其法於後以發明前法所未盡者
法列四數先以元母一百七十五與
密方率十四相度得度盡二數之數
為七次以二數相乘以度盡數除之
得三百五十為二數總母又以二數
總母與徽方率數相度得度盡二數
之數為五十以二數相乘度盡數除
之得一千四百為三數總母又以三
數總母與古方率數相度則古方率
四即為度盡二數之數二數相乘度
盡數除之仍得一千四百即為四數
總母然後以密方率十四除之得一
百為密分母以徽方率二百除之得
七為徽分母以古方率四除之得三
百五十為古分母以元分母一百七
十五除之得八為原積分母以此數
與各段冪積相乘除較原數所省多
矣
第四十四問
今有梯田一段長二百四十步並不知東西兩濶只云從東頭截長五十步計地三畝從西頭截長三十步計地五畝問二濶各多少
答曰東頭元濶一十一步二分 西頭元濶四十
一步九分二釐
法曰此問先須求見兩頭各截之停廣求東截停廣者置東頭所截三畝之積七百二十步以截長五十步除之得一十四步四分為東截地之停廣也求西截停廣者置西頭所截五畝之積一千二百步以截
長三十步除之得四十步為西頭所
截停廣也乃立天元一為每步之差
以東頭截長五十步乘之折半得□
以減東停廣一十四步四分得□【分】□為東頭元小濶於上再置天元差
步以西頭截長三十步乘之得□折半得□加入西頭停廣四十步得□□為西頭大濶也内減東頭小濶餘□步□為二濶總差也寄左再立天元每步差以正長二百四十步乘之得□亦為二濶總差與左相消得□步□下法上實如法而一得一分二釐八毫為每步之差也置每步之差以西頭截長三十步乘之得三步八分四釐折半得一步九分二釐加入西頭停廣四十步得四十一步九分二釐為西頭元大濶也又置每步之差以東頭截長五十步乘之得六步四分折半得三步二分以減於東頭停廣一十四步四分餘一十一步二分為東頭元小濶也此問止求每步之差更不須以條段明之
舊術依法求得東停廣與西停廣數乃以二停廣相減餘以二百而一【謂東截長五十步其停廣當二十五步餘去了二十五步也西截長三十步其停廣當一十五步餘去了一十五步也兩頭計去了四十步以減於正長二百四十步餘二百步】所得為每步之差乃副置半步之差左以東截長乘之以減東停廣餘為東元濶也右以西截長乘之以加西停廣併為西元濶也又法置一步之差以正長二百四十乘之所得為都濶差也以都濶差加於小頭濶則為大頭濶也
第四十五問
今有方田一段中心有方田池占之外計地一畝只云從外田東南隅至内池西南隅一十三步問内外田方各多少
答曰内池方七步 外田方一十七步
法曰立天元一為内池方以自乘倍之得【元○】□加入見積得□□寄左又列至步自之得一百六十九步
又倍之得三百三十八步與左相消
得□○□開平方得七步即内池方
也池方自之加入見積再開平方即
外田方面也
依條段求之只據前式便是更不須重畫也只是將見積打作四段小直田以池面為較以外田方面為和以斜至步為弦然此問惟是其池正在方田中心可依此法求之若稍有偏側則不能用也 舊術列去角步自乘為二位頭位減半田積開平方見内池面下位加半田積開平方見外田面也
第四十六問
今有方圓田各一段共計積一百二十七步只云其方面大如圓徑圓徑穿方斜共得二十步問面徑各多少
答曰方面一十步 圓徑六步
法曰立天元一為圓徑減穿步得□丨為方斜以自
之得□□丨為方斜冪於頭再
置天元圓徑以自之又以一步
四分七釐乘之得□□步為展
起圓田也併入頭位得□□□
步為展數如積一段寄左然後
列見積一百二十七步兩度下加四【兩度下加四止是以一步九分六釐乘之也以一步九分六釐乘之者變方田為斜田也】得二百四十八步九分二釐與左相消得下式□□□開平方得六步即圓徑也以徑減穿步即方斜也
依條段求之穿步冪内減去展起見積為實二之穿步為從二步四分七釐虛隅
義曰下式乃展起之圓
積也亦俱是減數也此
數該一步四分七釐之
方又從步内疊出一步
虚隅計得二步四分七釐常法也
舊術曰以一步九分六釐乘田積為頭位又列穿步自乘内減去頭位餘為實倍穿步為從亷常置二步四分七釐減從開方
第四十七問
今有直田一段中心有小方池結角占之外計地二千七十九步只云從田二頭至池角二十一步半兩邊至池角七步半問三事各多少
答曰長六十四步 濶三十六步 池方一十五步
法曰立天元一為内方面身外加四
又加二之頭至步四十三得□□為
田長也又置池方面身外加四又加
入二之邊至步一十五得□□為田
濶也長濶相乘得下式□□□為直田積於頭又置天元池方面以自之得【元○】丨為内方池以減頭位得□□□為如積一段寄左然後列見積二千七十九步與左相消得□□□開平方得一十五步即内池方面也方面外加四副二位若加兩頭至池步見長若加兩邊至池步即見濶也
依條段求之積步内減四段邊至與頭至步相乘數為實併至頭至步倍之又身外加四為從九分六釐常法
義曰水池外有九分六釐常法從
步皆加四者盖於斜上求方面也
第四十八問
今有方田一段内有直池水占之外有地三百四十步只云其池廣不及長四步又云從田楞通池長一十五步問三事各多少
答曰田方二十步 内池長一十步 廣六步
法曰立天元一為池長減於倍通步□丨為田方面以自之得□□丨為田方積於頭再置天元池長内減較四步□丨為池濶以天元乘之得□丨為直池
積以減頭位得□□○為如積一段
寄左然後列直積三百四十步與左
相消得□□下法上實如法而一得
一十步即池長也以長減於倍通步
即方田面也
依條段求之四段通步冪内減田積為實四之通步内減池較為法如法得池長
義曰四之通步為法内欠一箇池長冪却用所漏之
池補之猶差一池較
為法合除之數也既
於實積内虚了此數
故作法時於四之通步内減去一數也
第四十九問
今有方田一段内有小方池結角占之外計地一萬八百步只云從外田楞至内池角各一十八步問内外方各多少
答曰外田方一百二十步 内池方六十步
法曰立天元一為内方面身外加
四又加倍至步三十六得□□為
田方面以自乘得□□□為外方
積於頭再置天元内方面以自之
得【元○】丨為内池積也以減頭位得□□□為如積一段寄左然後列真積一萬八百步與左相消得□□□開平方得六十步為内池方面也内方面身外加四又加倍至步即方面也
依條段求之見積内減四段至步冪為實四之至步身外加四為從九分六釐常法
義曰從步内加四者是於一箇方
面上求
第五十問
今有方田一段自有小方池結角占之外計地九千三百七十五步只云從外方角至内池面各五十七步半問内外方各多少
答曰外田方一百步 内池方二十五步
法曰立天元一為内方面
加倍至步一百一十五步
得□丨為外田斜以自之
得□□丨為所展方積於
頭再置天元内池面以自
之得【元○】丨為内池積又就分以一步九分六釐乘之得下【元○】□亦為所展之池積也以減頭位得□□□為一段所展如積寄左然後列真積九千三百七十五步以一步九分六釐乘之得一萬八千三百七十五與左相消得□□□開平方得二十五步即内方面也
依條段求之展積内減四段至步冪為實四之至步為從九分六釐虚常法
義曰展積時其池亦展得虚了九
分六釐也
第五十一問
今有方田一段内有小方池結角占之外計地四十五畝只云從外田南邊斜通池北角一百二步問内外方各多少
答曰外田方一百二十步 内池方六十步
法曰立天元一為内方面身
外加四為池斜以減於倍通
步二百四步得□□為外方
面以自之得□□□為方田
積於頭又置天元内池面以自之得下【元○】丨為内方池也以内方池減頭位得□□□為如積一段寄左然後列真積一萬八百步與左相消得□□□平方開之得六十步為池方面也
依條段求之四段通步冪内減見積為實四之通步加四為從九分六釐虚隅法
義曰從步身外加四者蓋是於池
斜上求池面也
舊術曰倍通步自乘以田積減之餘折半為實倍通步加四為從亷常置四分八釐減從開方見内方面
第五十二問
今有方田一段内有方池結角占之外計地三十九畝零一十五步只云從田東南角至内池西北面八十二步半問内外方面各多少
答曰外田方面一百步 内池方面二十五步
法曰立天元一為内方面減於倍通步一百六十五
步得□丨為外田斜也以自之得
□□丨為所展外田積於頭再置
天元池方面以自之為方池積又
就分以一步九分六釐乘之得【元○】
□為所展方池積也以減頭位得□□□為展起底如積一段寄左然後列真積三十九畝一十五步通納得九千三百七十五步又就所展分母一步九分六釐乘之得一萬八千三百七十五步與左相消得□□□平方開之得二十五步即内池面也以池面減於倍通步又身外去四即外方面也
依條段求之四段通步冪内減展積為實四之通步為從九分六釐常法
義曰元以展積減四段通步
冪時漏下一步九分六釐池
積今來於從步内疊用了一
個方外剩九分六釐
第五十三問
今有方田一段内有直池結角占之外計地八百五十步只云從田角通水長三十七步通水濶三十二步問三事各數
答曰池長二十五步 濶一十五步 外田方三十
五步
法曰立天元一為内池長減於倍通步七十四步得□丨為外田斜也以自之得□□丨為所展外田積
於頭再置倍通長七十四步内
減倍通濶六十四步餘一十步
乃池長濶差也【或直以通長通濶相減於者倍
之亦為長濶差也】再置天元池長内減
長濶差得□丨為濶也以天元長乘之得□丨為直池積也又就分以一步九分六釐乘之得□□為展起底直池積也以減頭位得下式□□□為所展如積一段寄左然後列真積八百五十步就分以一步九分六釐乘之得一千六百六十六步與左相消得□□□開平方得二十五步為内池長也【以減倍通長步又身外去四即外田方面也】
依條段求之四段通長冪内減展積為實四之通長於頭以一步九分六釐乘長濶差以減頭位為從九分六釐常法
義曰據從步合用之積於疊起處少了一方今將減積時漏下所展水池補了一甲之地若更得一乙之
地則共補成一步九
分六釐之地方也【按原
圖仍用正方今易為直方庶為簡明】今
不可補故於從步内
減去所展差步便是
於從法合用之積内借了一乙之地恰補就一步九分六釐之方也除補了疊起的一步方外猶剩九分六釐故以之爲常法也
第五十四問
今有方田一段内有直池結角占之外計地一千一百五十步只云從田角至水兩頭各一十四步至水兩邊各一十九步問三事各多少
答曰方四十五步 池長三十五步 濶二十五
步
法曰立天元一爲池濶加二之邊至步三十八得□丨為外田斜以自之得□□丨為所展外田積於頭
二之邊至步内減二之頭至步
餘一十步為池長濶差也再置
天元池濶加差一十步得□丨
為池長也用天元池濶乘之得
□丨為直池積也又就分以一步九分六釐乘之得□□步為所展之池積也以減頭位得□□□為所展如積一段寄左然後列真積一千一百五十步以一步九分六釐乘之得二千二百五十五十四步與左相消得□□□開平方得二十五步為池濶也【又加二之邊至步又身外去四即外方面也】
依條段求之展積内減四段邊至步冪為實四之邊至步於頭以一步九分六釐乘長濶差減頭位餘為從九分六釐虚常法
義曰所展池積内將四段紅【按原
圖應減者以紅色别之】積恰補作九分六
釐虚常法其兩箇所占半差於
減從時又以一步九分六釐乘
之者蓋欲合身外加四所乘積也
按展積義多未備此條尤略今具圖說以詳之
義曰外四隅方所減之四至冪
也中十字積為實則池濶為隅
四之至步為從也附直池外斜
方展池積也平分上下二尖形
附於左右二尖形外成一原池濶乘展池正長之直方展池正長為原池長之一步九分六釐十字積與展池積之較為實是前從隅内應少原池長之一步九分六釐又為少原池長濶較之一步九分六釐併原池濶之一步九分六釐故展較減前從以為從展隅反減前隅為虚隅也
第五十五問
今有圓田一段内有圓池水占之外計地二十三畝一分只云内外周徑共相和得四百二十四步問内外周徑各多少【圖依密率】
答曰外周二百八十六步徑九十一步 内周一百一十步徑三十五步 實徑二十八步
法曰立天元為實徑以減相和
步四百二十四得□丨為内外
周共步用天元實徑乘之得□
丨為如積兩段寄左然後列二
之真積一萬一千八十八步與左相消得□□丨開平方得二十八步為實徑也以徑步除田積於頭位又二十二乘徑步如七而一得數若加頭位即外周若減頭位即内周也
義曰以徑步除田積所得乃半内周半外周共步也又據古率三箇實徑即是半箇外内周差步也緣此問係是密率故以二十二乘徑以七約之也即得半差以加共步即是外周以減共步即是内周也又據古率三之實徑以加減共步者緣共步便三空徑三實徑共數也於此共數内加三實徑則恰是三箇大圓徑故為一箇外周也若共數内減去三實徑則正有三箇小圓徑故為一箇内周也今是密率故先以二十二之七而一所以附就此數以求内外周也依條段求之倍積步為實和步為從一益隅
義曰以和步為從
是於内外周數外
又引出一步虚常法也
第五十六問
今有圓田一段内有圓池水占之外計地二十三畝一分只云從外田通内池徑六十三步問同前
答同前
法曰立天元為實徑加通步六
十三得□丨為外田徑以自之
得下□□丨為外圓徑冪又十
一之得下式□□□為十四段
外圓積於頭再置天元實徑以減通步得□丨為内圓徑以自之得□□丨為内圓徑冪又十一之得□□□為十四段内圓積也以減頭位得下式□步為十四段如積寄左然後列真積二十三畝一分法通得五千五百四十四又就分一十四之得七萬七千六百一十六與左相消得□□下法上實如法而一得二十八步為實徑也以實徑加通步即外徑若減通步即内池徑也
依條段求之十四之積為實四十四之通步為法求得實徑
此問難以為式強立此式以推之每積之長乃三箇通步今十四之積合以四十二箇通步除之今用四十四之通步為法者緣密率之周稍多於古率之周也假令古率七箇積即合用二十一箇通步為法若依密率七箇積即合用二十二箇通步為法此問乃併十四之積為實是合用四十四箇通步為法也舊術曰二十二之通步如七而一為法除田積見徑又法倍通步自之又十一之於上以十四之積減上餘為實四十四之通步為法見池徑
按條段皆於立天元一内取出而於方圓變積之義或未暇深思故謂難以為式若以方環圓環解之固易易耳今增一圖義於後而舊術又法先求池徑更可互相發明因並附焉
義曰圓冪率十一方冪率十四以十四
乘圓環積便為十一方環積每環為實
徑乘通步之直方四故以十一方環積為
實四十四通步為法即得實徑也
義曰倍通步即大小徑併其冪内有
大小徑冪各一大小徑相乘直方二
内減圓環積所變之方環積餘小徑
冪二大小徑相乘之直方二又為小
徑乘大小徑併之直方二又為小徑乘通步之直方四故以十一倍之積較為實四十四之通步為法即得小徑也
第五十七問
今有圓田一段内有直池水占之外計地八千七百四十四步只云兩頭至田楞各二十一步兩畔至田楞各四十五步問三事各數
答曰田徑一百二十四步 池長八十二步 濶
三十四步
法曰立天元一為池濶加二之畔至
步得□丨為外田徑以自之得□□
丨為田徑冪以三之得□□□爲四
段圓田積於頭二至步相減餘二十
四步又倍之得四十八步為池長濶差也再立天元池濶加差得□丨爲池長以天元濶乘之得□丨為池積又就分四之得□□為四段直池積以減頭位得□□丨為如積四段寄左然後列真積八千七百四十四步就分四之得三萬四千九百七十六步減頭位得□□丨平方開之得三十四步為池濶也依條段求之四之見積内減十二段畔至步冪為實十二之畔至步内減四箇長濶差餘為從一步虚常法
義曰八處以紅誌之者共是從内所減之數也舊術曰四之積步於上又倍一畔步自乘三之減上餘為實又併一頭一畔步六之内減了長濶之差餘為從亷常置一步減從開方見池濶也
第五十八問
今有圓田一段内有直池占之外計地一千五百八十七步只云從田楞通地長四十二步通地濶三十七步問三事各數
答曰田徑五十四步 池長三十步 濶二十步
法曰立天元一為内池長以減
倍通長八十四步得□丨為田
徑以自之得□□丨為田徑冪
以三之得□□□為四段圓田於頭再立天元一為池長内減長濶差得□丨為池濶以天元一乘之得□丨又就分四之得□□為四段池積【求長濶差者倍通長内減倍通濶即是也】以減頭位得下式□□丨為四段如積寄左然後列四之真積六千三百四十八步與左相消得□□丨開平方得三十步為内池長也以長減倍通長即田徑也依條段求之十二之通步冪内減四之見積為實十二之通步内減四差為從一步常法
義曰十二之從步内減去了三箇差又以三箇漏下池積補了疊起底三步虚方外猶剩一池更用一差減從併上所剩之一池恰補成一步常法也
第五十九問
今有二方夾一圓失却圓水占外有田積一十一畝五分五釐其方圓相去重重徑等問方圓各多少答曰内方面一十二步 圓徑三十六步 外方
面六十步
法曰立天元一為等數五之得
□為外方面自之得【元○】□為外
方積於頭一次立天元一為等
數以三之得□為中圓徑以自
之得【元○】□為圓徑冪又三之四而一得【元○】□為池積以減頭位得【元○】□為外田積内減了中圓積之數於次位一再立天元等數便為内方面以自之得【元○】丨為内方積却加入次位得下□為如積一段寄左然後列真積一十一畝五分五釐以畝法通得二千七百七十二步與左相消得□□步下法上實如法而一得一百四十四步再開平方得一十二步為等數也便是内方面也三之為中圓徑五之為外方面 此問更無條段舊法以十九步二分半除積步得内方冪只是以一步推之也假令内方一步則圓徑三步外方面五步也於外方積二十五步之内減了中圓積六步七分半却加入内方積一步計得十九步二分半也第六十問
今有二圓夾一方失却中方水占外有田積一十四畝一分七釐半其方圓相去重重徑等問方圓各幾何答曰内圓徑一十八步 方面五十四步 外圓徑九十步
法曰立天元一為等數以五之為外
圓徑以自之得【元○】□為外徑冪又三
之四而一得□為外田積於頭再立
天元等數以三之為中方面又自之得【元○】□為中方冪以減頭位得【元○】□為外圓積内減了中方冪之數於次位又置天元等數便為内圓徑以自之得【元○】丨為内徑冪又三之四而一得【元○】□為内圓積也却加入頭位得【元○】□為如積一段寄左然後列真積一十四畝一分七釐半以畝法通得三千四百二步與左相消得□□下法上實如法而一得三百二十四步再開平方得一十八步為等數便是内圓徑也副置之三因為中方面五因為外圓徑也 此問與前問意同更無條段舊法以十步半除積步得内徑冪亦只是以一步推之假令内圓徑一步則是中方面三步外圓徑五步先置外圓積一十八步七分半内減了中方積九步却加内圓積七分半共得一十步半也
第六十一問
今有方田一段靠西北隅有圓池水占之外計地九百二十五步只云從外田東南隅至池楞二十五步問面徑各多少
答曰外田方面三十五步 内池徑二十步
法曰立天元一為内池徑身外加
二得□為池東南楞至田西北角
也又加斜至步二十五步得□□
為外田斜以自之得□□□為田
斜冪於頭再立天元圓徑以自之為冪又以一步四分七釐乘之得【元○】□為所展圓池積以減頭位得□□□為所展如積一段寄左【初立天元身外加二者以方求斜合加四今求一半故加二也 按加二係以方求半方半斜和之數也】然後列真積九百二十五步就分以一步九分六釐乘之得一千八百一十三步與左相消得□□□平方開得二十步為池徑也池徑外加二又添入斜至步却身外除四即外方面也
依條段求之展積内減斜至冪為實倍至步身外加二為從三釐虚常法減從開平方
義曰於一方外虚了四分七釐
從上帶了四分外虚七釐又於
從上乘起四釐外猶虚三釐故
以三釐為常法此圖内二分合
畫作極細形狀與四分七釐外圓邊正自相應今不應者但二分差濶耳所以畫作差濶之狀者正欲易辯二分之數也
按原圖式有附斜至冪外磬折形無附池徑冪外磬折形且二形相離皆傳本之誤也故義中所論亦不知其何指今訂補此圖二分不必加濶未嘗不易辨也
第六十二問
今有方田二段靠西北隅有方池結角占外計地四畝一十五步只云從田東南隅斜至水方面一十九步問内外面各多少
答曰外方面四十步 内方面二十五步
法曰立天元一為池方面身外加
四八又加入斜至步一十九步得
□□為外田斜也【先將池斜變為方故加四後又】
【將池方變為斜復合加四兩度加四於一步上合得一步九分六釐今求一半故身外止加四八也 按方一步求斜身外加四又以斜為方求斜再身外加四是原方求再斜為身外加九六今求半方半再斜之和數故加四八也】以自之得□□□為外田斜冪於上再立天元一為池方面以自之又以四十九乘之如二十五而一得【元○】□為展起方池積以減上得□□□為所展如積一段寄左然後列真積四畝一十五步以畝法通内得九百七十五步又隨分以一步九分六釐乘之得一千九百一十一步與左相消得□□□平方開得二十五步為内池方面也於此方面上兩次求斜合得一步九分六釐以除元方一步外有九分六釐半之則得四分八釐故此方面上加四八更加入斜至步為大方斜也
以條段求之展積内減至步冪為實二之至步以一步四分八釐乘之為從二分三釐四絲為常法
義曰此一問其展起積時
於一池之外虚了九分六
釐却於一箇從步内加四
分八釐二箇從步計加了
九分六釐恰就了所展虚
數除外有一段四分自乘數該一分六釐於上又有兩段四分乘八釐數【按附自乘方外】該六釐四毫於次又有一段八釐自乘數【按小方隅】該六毫四絲於下三位併得二分三釐四絲此數係是於展積内實有之數故以常法也
舊術以四十九乘田積如二十五而一于頭位以至水步自乘減頭位為實餘與條段同
按原圖式四分八釐方内按分釐數細分之因其數甚微又以分數釐數作等數分之終不免混淆今以亷隅線易之
第六十三問
今有大圓田一段大小方田二段其小方田内有圓池水占之外共計積六萬一千三百步只云小方田面至池楞三十步大方田面多於小方田面五十步其圓田徑又多於大方田面五十步問四事各多少答曰小方田面一百步 池徑四十步 大方田
面一百五十步 圓田徑二百步
法曰立天元一為内池徑加二之至
水六十步為小方面於小方面上又
加入大小方面差五十步即大方面
也於大方面上又加入大圓徑大方
面差五十步即大圓徑也具圖於左
一内圓徑【太○】丨 一小方面□丨
一大方面□丨 一大圓徑□丨
乃先置天元内圓徑以自之义三之
得【元○】□為四段圓池積於上又置小方面□丨以自之得□□丨為小方積以四之得下式□□□為四段小方積於次又置大方面以自之得□□丨為大方積四之得□□□為四段大方積於下又置大圓徑下式□丨以自之得□□丨為大圓徑冪以三之得下式□□□為四段大圓積於下位之次併下三位得下式□□□於右以四池積【元○】□減於右得□□□為如積四段寄左然後列真積六萬一千三百步就分四之得二十四萬五千二百步與左相消得□□□平方開之得四十步為内池徑也各加差步即各得方面與圓徑也
依條段求之四之田積於頭位内減三段【按落大圓徑三字】多池徑冪又減四段大方面多池徑冪又減十六段至水步冪為實六之圓田多池徑步又八之大方田面多池徑步又十六之至水步三位併之得二千三百二十步為從法亷常置八步開平方
義曰三段圓徑冪乃四箇圓田積此數内有三箇方也其四段大方田積内有四箇方也其四段小方積每箇圓池外餘二分半四池計餘一步方也三位上併帶八步方
第六十四問
今有方田一段中心有環池水占之外計地四十七畝二百一十七步只云共環水内周不及外周七十二步又從田四角至水各五十步半問内外周及田方方各多少
答曰外周一百八十步 内周一百八步 田方
一百一十五步
法曰立天元一為池内徑
先以六除内外周差七十
二步得一十二步為水徑
倍之得二十四步加入天
元池内徑得□丨為池外徑又加倍至步一百一步得下式□丨為外田斜以自之得□□丨為田斜冪於頭位再立天元池内徑加入二之水徑得□丨為池外徑以自之得□□丨為外徑冪又以一步四分七釐乘之得下式□□□步為展起底外圓積於次上再立天元一池内徑以自之【元○】丨亦以一步四分七
釐乘之得【元○】□ 【步】為展起底内圓積以減次上得□步□○為所展底池積也以此池積減頭位得下式□步□丨為展起如積一段寄左然後列真積四十七畝二百一十七步以畝法通納之得一萬一千四百九十七步又就分以一步九分六釐乘之得二萬二千五百三十四步一分二釐與左相消得下式□步□丨開平方得三十六步即池内徑也三之為内周又加差為外周置内徑加二之水徑又加倍至步為外方斜也置外方斜身外去四即外田方面也依條段求之以一步九分六釐乘田積於頭位以水徑加至步以自之為冪又四之以減頭位又倍水徑自乘又以一步四分七釐乘之却加入頭位為實又水徑加至步四之於頭位又三之水徑以一步九分六釐乘之減頭位為從一步常法此問圖式有三第一式即所畫原様是也以一步九分六釐乘之變為斜冪其式如後
右第二式也黑者為元問
點者盡是展數恐糢糊難
辯再具加減圖式於下更
不見舊式也
右第三式也其圓環以條
段命之只是一箇方環内
取四分之三也却加入三
段展起底水徑冪外只有
三段展起底水徑乘内圓徑直田積也此係展環之虚數也今以至步並水徑共為從故於内却除去水徑之虚步也必須以一步九分六釐乘水徑而去從者緣二停虚環並是展起之積故減從時將水徑亦展起而減之也【按展水徑展内圓徑皆於原數身外加四今以内圓徑為不動則水徑必兩度加四故以一步九分六釐乘之也】
益古演段卷下
