1-提要
欽定四庫全書 子部六
測圓海鏡 天文算法類二【算書之屬】提要
【臣】等謹案測圓海鏡十二卷元李冶撰冶字鏡齋欒城人金末登進士入元官翰林學士事蹟具元史本傳其書以勾股容圓為題自圓心圓外縱横取之得大小十五形皆無奇零次列識别雜記數百條以窮其理次設問一百七十則以盡其用探賾索隱參伍錯綜雖習其法者不能驟解而其草多言立天元一按立天元一法見於宋秦九韶九章大衍術中厥後授時草及四元玉鑑等書皆屢見之而此書言之獨詳其法關乎數學者甚大然自元以來疇人皆株守立成習而不察至遂無知其法者故唐順之與頋應祥書稱立天元一漫不省為何語頋應祥演是書為分類釋術其自序亦云立天元一無下手之術則是書雖存而其傳已泯矣明萬歷中利瑪竇與徐光啟李之等譯為同文算指諸書於古九章皆有辨訂獨於立天元一法闕而不言徐光啟於勾股義序中引此書又謂欲說其義而未遑是此書已為利瑪竇所見而猶未得其解也迨我
國朝醲化翔洽梯航鱗萃歐邏巴人始以借根方法進
呈
聖祖仁皇帝授
蒙養齋諸臣習之梅㲄成乃悟即古立天元一法於赤水遺珍中詳解之且載西名阿爾熱巴拉【案原本作阿爾熱巴逹謹據西洋借根法改正】即華言東來法知即冶之遺書流入西域又轉而還入中原也今用以勘驗西法一一脗合瑴成所說信而有徵特錄存之以為算法之秘鑰且以見中法西法互發益明無容設畛域之見焉乾隆四十六年二月恭校上
總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
總校官【臣】陸費墀
原序
數本難窮吾欲以力強窮之彼其數不惟不能得其凡而吾之力且憊矣然則數果不可以窮耶既已名之數矣則又何為而不可窮也故謂數為難窮斯可謂數為不可窮斯不可何則彼其冥冥之中固有昭昭者存夫昭昭者其自然之數也非自然之數其自然之理也數一出於自然吾欲以力強窮之使隸首復生亦末如之何也已苟能推自然之理以明自然之數則雖遠而乾端坤倪幽而神情鬼狀未有不合者矣予自幼喜算數恒病夫考圓之術例出於牽強殊乖于自然如古率徽率密率之不同截弧截矢截背之互見内外諸角析剖支條莫不各自名家與世作法及反覆研究卒無以當吾心焉老大以來得洞淵九容之說日夕玩繹而向之病我者使爆然落去而無遺餘山中多暇客有從余求其說者於是乎又為衍之遂累一百七十問既成編客復目之測圓海鏡蓋取夫天臨海鏡之義也昔半山老人集唐百家詩選自謂廢日力于此良可惜明道先生以上蔡謝君記誦為玩物喪志夫文史尚矣猶之為不足貴況九九賤技能乎嗜好酸鹹平生每痛自戒勅竟莫能已類有物憑之者吾亦不知其然而然也故嘗私為之解曰由技兼于事者言之夷之禮夔之樂亦不免為一技由技進乎道者言之石之斤扁之輪非聖人之所與乎覽吾之編察吾苦心其憫我者當百數其笑我者當千數乃若吾之所自得則自得焉耳寧復為人憫笑計哉李冶序
總率名號
天之地為通弦 天之乾為通股
乾之地為通勾
天之川為邊弦 天之西為邊股
西之川為邊勾
日之地為底弦 日之北為底股
北之地為底勾
天之山為黄廣弦 天之金為股
金之山為勾
月之地為黄長弦 月之泉為股
泉之地為勾
天之日為上高弦 天之旦為股
旦之日為勾
日之山為下高弦 日之朱為股
朱之山為勾
月之川為上平弦 月之青為股
青之川為勾
川之地為下平弦 川之夕為股
夕之地為勾
天之月為大差弦 天之坤為股
坤之月為勾
山之地為小差弦 山之艮為股
艮之地為勾
日之川為皇極弦 日之心為股
心之川為勾
月之山為太虚弦 月之水為股
水之山為勾
日之月為明弦 日之南為股
南之月為勾
山之川為□弦 山之東為股
東之川為勾
今問正數
通弦六百八十 勾三百二十 股六百
勾股和九百二十較二百八十
勾弦和一千較三百六十
股弦和一千二百八十較八十
弦較和九百六十較四百
弦和和一千六百較二百四十
邊弦五百四十四 勾二百五十六 股四百八十勾股和七百三十六較二百二十四
勾弦和八百較二百八十八
股弦和一千零二十四較六十四
弦較和七百六十八較三百二十
弦和和一千二百八十較一百九十二
底弦四百二十五 勾二百 股三百七十五勾股和五百七十五較一百七十五
勾弦和六百二十五較二百二十五
股弦和八百較五十
弦較和六百較二百五十
弦和和一千較一百五十
黄廣弦五百一十 勾二百四十【即城徑也】 股四百五十
勾股和六百九十較二百一十
勾弦和七百五十較二百七十
股弦和九百六十較六十
弦較和七百二十較三百
弦和和一千二百較一百八十
黄長弦二百七十二 勾一百二十八 股二百四十【即城徑也】
勾股和三百六十八較一百一十二
勾弦和四百較一百四十四
股弦和五百一十二較三十二
弦較和三百八十四較一百六十
弦和和六百四十較九十六
高弦二百五十五【上下同】 勾一百二十【即半徑】 股二百二十五
勾股和三百四十五較一百零五
勾弦和三百七十五較一百三十五
股弦和四百八十較三十
弦較和三百六十較一百五十
弦和和六百較九十
平弦一百三十六【上下同】 勾六十四 股一百二十【即半徑也】
勾股和一百八十四較五十六
勾弦和二百較七十二
股弦和二百五十六較十六
弦較和一百九十二較八十
弦和和三百二十較四十八
大差弦四百零八 勾一百九十二 股三百六十勾股和五百五十二較一百六十八
勾弦和六百較二百一十六
股弦和七百六十八較四十八
弦較和五百七十六較二百四十
弦和和九百六十較一百四十四
小差弦一百七十 勾八十 股一百五十
勾股和二百三十較七十
勾弦和二百五十較九十
股弦和三百二十較二十
弦較和二百四十較一百
弦和和四百較六十
皇極弦二百八十九 勾一百三十六 股二百五十五
勾股和三百九十一較一百一十九
勾弦和四百二十五較一百五十三
股弦和五百四十四較三十四
弦較和四百零八較一百七十
弦和和六百八十較一百零二
太虚弦一百零二 勾四十八 股九十
勾股和一百三十八較四十二
勾弦和一百五十較五十四
股弦和一百九十二較一十二
弦較和一百四十四較六十
弦和和二百四十較三十六
明弦一百五十三 勾七十二 股一百三十五勾股和二百零七較六十三
勾弦和二百二十五較八十一
股弦和二百八十八較一十八
弦較和二百一十六較九十
弦和和三百六十較五十四
□弦三十四 勾十六 股三十
勾股和四十六較一十四
勾弦和五十較一十八
股弦和六十四較四
弦較和四十八較二十
弦和和八十較十二
識别雜記
天之于日與日之於心同心之于川與川之于地同日之于心與日之于山同故以山之川為小差 川之于心與川之于月同故以月之日為大差
明勾□股相得名為内率求虚積 明股□勾相得名為外率求虛積 虛勾虚股相得名為虚率求虚積
凡勾股和即弦黄和 凡大差即股黄較 凡小差即勾黄較
高股平勾差名角差【又】名遠差此數即高平二差共也又為明和□和較也【又】為通差内去極差【又】為極差虚差共 明□二差共名次差【又】名近差【又】名戾【音列】和此數【又】為明大差□小差較也 勾圓差之股股圓差之勾相併名混同和此數【又】為一徑一虛弦共也 明□二差較名傍差此數又為高平二差較【又】為極雙差内減虚和【又】為極和内減城徑也 虚差不及傍差名蓌差此數又為大差差内去角差【又】為極差内去二之平差【又】為次差内去小差差【又】為明股□勾共内去二之明勾也 虚差傍差共為蓌和【蓌音剉】
凡大差股小差勾相乘為半段徑冪 大差勾小差股相乘亦同上 虚勾乘大股得半段徑冪 虚股乘大勾亦同上 邊股□股相乘得半徑冪明勾底勾相乘亦同上 黄廣股黄長勾相乘得徑冪 高股平勾相乘得半徑冪 明弦明股併與□弦□勾併相乘得半徑冪 明弦明勾併與□弦□股併相乘亦同上 高弦平弦相乘為一段皇極積 明勾□股相乘倍之為一段太虚積明股□勾相乘亦同
右諸雜名目
通弦上勾股和即一城徑一通弦也其較即勾圓差之勾股圓差之股相較也 勾弦和即二勾一大差其較則大差也 股弦和即二股一小差其較則小差也 弦較和為一徑三差共其較則大勾小差共也 三事和即邊弦三事和上帶大勾也【又】為底弦三事和上帶大股也其較則城徑也
邊弦上勾股和為通股平弦共其較則大差股内去平弦也 勾弦和即通股底勾共其較則明股明弦共也 股弦和即通股通弦和内少个邊勾也其較則平勾也 弦較和為大差上股弦和其較則大勾也 三事和即通弦上股弦和【又】為黄廣三事和上帶勾圓差也其較則大差勾也【又】為平弦上弦較和【又】為太虛弦上股弦和也
底弦上勾股和為通勾高弦共其較則高弦内去小差勾也 勾弦和為通弦上弦較較與高股共其較則高股也 股弦和為半个通弦上三事和其較則□弦上勾弦和也 弦較和為大差上勾弦和也其較則小差上勾弦和也 三事和即通弦上勾弦和【又】為黄長三事和上帶股圓差其較則小差股也【又】為高弦上弦較較【又】為太虚弦上勾弦和
黄廣弦上勾股和為大股虚股共【又】為通勾通股共内少个小差上勾股和其較則兩个高差也 勾弦和為二高弦一圓徑共其較則二明股也 股弦和為通弦上弦較和其較則二□股也 弦較和即兩个大差股也其較即兩个小差股也 三事和兩大股也其較則兩虚股也
黄長弦上勾股和為大勾虚勾共【又】為通和内少个大差上勾股和也其較則兩个平差也 勾弦和為通弦上弦較較其較則兩个明勾也 股弦和為二圓徑二□勾其較則二□勾也 弦較和為兩个大差勾也其較則兩个小差勾也 三事和為兩大勾其較則兩虚勾也
高弦上勾股和為高弦虚股共【又】為一徑及高勾高股差也其較則底弦内減大勾也【又】為邊股内減底股也 勾弦共則底股其較則明股也 股弦共即邊股其差則□股也 弦較共則大差股其較則小差股也 三事和即大股其較則虚股也【又】為小差上勾弦較【又】為明弦上弦較較
平弦上勾股共即平弦虚勾共也其較則大股内減邊弦也 勾弦共即底勾其差則明勾也 股弦共即邊勾其較則□勾也 弦較共即大差勾其較則小差勾也 三事和即大勾其較則虚勾也【又】為大差上股弦較【又】為□弦上弦較和
大差上勾股和即大股内去虚勾其差則大差弦内去圓徑也 弦勾共即大股其差則大差股内去二之明勾也 股弦和為大股上加个大中差也【按大中差乃明股弦和與半徑之較】其較則虚勾也 弦較和為兩个邊弦上勾弦較其較即城徑也 三事和即大股與股圓差共【又】為大弦大較共【又】為二邊股其較則太虚上弦較和也
小差上勾股和即大勾内去虚股也其較則圓徑内去小差弦也 勾弦和為大勾上減个小中差也【按小中差乃□勾弦和與半徑之較】其較則虚股也 股弦共即大勾其較則小差勾内去兩个□股也 弦較和為圓徑其較則為兩个底弦上股弦較【又】為兩个□弦上勾弦和也 三事和即大勾與勾圓差共也又為大弦大較較【按即通弦又上弦較較】為二底勾其較則太虚上弦較較也
皇極勾股和即高弦平弦共其較則明股内去□勾也 勾弦共即底弦其較則明弦也 股弦共則邊弦其較則□弦也 弦較和為高弦明弦共【又】為大股内減大差勾【又】為大差弦其較則小差弦也 三事和即通弦其較則太虛弦也【又】為明勾□股共【又】為高弦内減明弦【又】為平弦内減□弦【又】為大差勾上減虚股【又】為小差股上減虚勾也
太虚勾股和即圓徑内減虚弦【又】為虚弦虚黄方共【又】為皇極弦内去明股□勾共其差則大差勾内減个小差股也 勾弦共即小差股也其較則虚股内減个小黄方也 股弦共即大差勾其較則虚勾内減个小黄方也 弦較和為大差弦上弦和較【又】黄長弦上勾弦較【又】為兩个明勾其較小差弦上黄方面也 三事和即大黄方其較則為兩个明弦上股弦較【又】為□弦上兩个勾弦較【又】為明弦上小差與□弦上大差共也
明弦勾股和即大差股内減明弦其較則明弦内減虚股也 勾弦併即高股其較則高股内少二之明勾也 股弦和即邊股内減大差勾【又】為邊勾邊弦差其較則半个虚黄方也 弦較和即大差上勾弦較其較則虚股也 三事和即股圓差其較則太虚上勾弦較【又】為虚股内減虛黄方也
□弦上勾股和即小差内減□弦其較則虚勾内減□弦也 勾弦和即底勾内減小差股【又】為底股底弦差其較則半个虚黄方也 股弦和即平勾其較則平勾内少二个□股也 弦較和即虛勾其較則小差上股弦較也 三事和即勾圓差其較則太虚上股弦較【又】為虚勾内減虚黄方也
前黄廣勾股下 其勾股較【又】為大差股上少个小差股【又】為中差【按中差係通勾股較】内少个小差較【又】為黄廣股内少一徑 勾弦共【又】為兩个底股【又】為大股與小差股共 股弦和【又】為大弦中差共【又】為兩个邊股 股弦差【又】為小差上黄方面
前黄長勾股下 其勾股較【又】為大差勾上少个小差勾也【又】為圓徑内少个黄長勾 勾弦共【又】為兩个底勾【又】為大勾與小差勾共 勾弦較【又】為大差上黄方面 股弦共【又】為兩个邊勾
右五和五較
大弦為大勾與股圓差共【又】為大股與勾圓差共邊弦乃邊股平勾共【又】為大股内減平弦上勾股較 底弦乃底勾高股共【又】為大勾内加一个高差 黄廣弦為大股内減虚股【又】為邊股□股共黄長弦乃大勾内減虚勾【又】為底勾明勾共
高弦乃大差弦内減明弦【又】為明弦虚弦共 平弦乃小差弦内減□弦【又】為□弦虚弦共 大差弦乃大股内減大差勾【又】為高弦明弦共【又】大弦内去黄長弦 小差弦為大勾内減小差股【又】為平弦□弦共【又】為大弦内去黄廣弦 極弦乃高股平勾共【又】為平弦明弦共【又】為高弦□弦共【又】為大差弦内減高平二弦較【又】為小差弦内加高平二弦較 虚弦乃皇極黄方面【又】為明勾□股共【又】為高弦内減明弦【又】為平弦内減□弦 明弦乃高弦内減虚弦 □弦乃平弦内減虚弦
黄廣弦黄長弦相併為大弦虚弦共也以此數減于大和餘即虚和 若以二弦相減餘即虚弦平弦共也【按虚弦平弦共此題數偶合當云二極差】 黄廣弦【又】為大差弦虚弦共 黄長弦【又】為小差弦虚弦共 以黄長弦減于大勾餘即虚勾 以黄廣弦減于大股餘即虚股
邊弦底弦相併為大弦皇極弦共也于此併數内減大和餘為皇極弦内減圓徑也 若以二弦相減餘即皇極差也此數同者最多故【又】為皇極弦内少个小差弦【又】為高弦平弦較【又】為明股内少□勾【又】為大差弦内少皇極弦【又】為次差虚差共也邊弦【又】為皇極股弦共【又】為黄廣弦□弦共
底弦【又】為皇極勾弦共【又】為黄長弦明弦共也以邊弦減大股餘為半徑内減平勾【又】為平弦内減小差勾也 底弦内減大勾餘為高股内減半徑【又】為大差股内減高弦也
黄廣弦内減邊股即□股 黄長弦内減底勾即明勾也
高弦高股共即邊股 平弦平勾共即底勾 高弦高勾共即底股 平弦平股共即邊勾
上高弦減于通股餘即邊股内減□股也 下平弦減于通勾餘即邊勾内減明勾也 高弦平弦相併即大弦内少个皇極弦也若以相併數減於大和餘為皇極弦圓徑共也 高弦平弦相減餘即皇極差也【又】為皇極弦上減小差弦也若以相減數却加于相併數即黄廣弦也
高弦内減明股得半徑 平弦内減□勾亦同上皇極勾上加明弦為皇極弦 皇極股上加□弦亦同上
皇極弦 得極勾即底弦 得極股即邊弦 内去極勾即明弦 去極股即□弦 減于通弦即極和 得虚弦亦同上 内去虚弦即明弦□弦共去虚黄即明和□和共也 去城徑即傍差
内加極差即大差弦 去極差即小差弦 加角差即兩个高股 減角差即二平勾
太虛弦 加入極弦為極和 極弦内去之即明□二弦共 再去之則明大差□小差併也 加于大差弦即黄廣弦 加于小差弦即黄長弦 内去明勾則□勾 加明勾為圓徑内少虛黄□股共 加入明股為明和□股共 減于明股即明較内去□股 加入明弦為極股 減于明弦為明大差□小差内少个□弦 加于明和即兩个虚弦一个高差共也 減于明和即高差也 内去□勾即明勾□較共【又】為□股平差共 加于□勾即□和明勾共 加于□股為二虚弦内少明勾【又】為圓徑内少虚黄明勾共 内減□股即明勾 内加□弦即極勾 減于□弦為明勾内少个□小差 加入□和即兩个虚弦内少个平差也 内減□和即平差也 加入明□二和共即極和内少个虚黄也 若減於明□二和共即明股□勾共也 減于高弦即明弦減于平弦即□弦加于角差即二明勾一極差也 減于角差即一極差二□股較也 得傍差即明股□勾共内減傍差即太虚三事和内去了極雙差也【按雙】
【差係勾弦差股弦差】 内加虚差即二明勾 内減虚差即二□股 内加虚黄方即虚和 内減虚黄方即太虚大小差併也
右諸弦
大差弦小差弦共即兩个極弦也以兩个極差為之較 大差差小差差共即兩个極差也以兩个傍差為之較 大差上大差小差上大差共即兩个明弦也以兩个明差為之較 大差上小差小差上小差共即兩个□弦也以兩个□差為之較大差黄【按即二明勾】小差黄【按即二□股】數共即兩个極黄【按即二虚弦】也以兩个虚差為之較 大差勾小差勾共即兩个極勾也以兩个平差為之較 大差股小差股共即兩个極股也以兩个高差為之較二和共為二極和以二角差為之較
大差上弦較較即圓徑 小差上弦較和亦同上大差上小差即虚勾 小差上大差即虚股也大差弦與明勾共即邊股 小差弦與□股共即底勾也 大差弦内減中差即黄長勾【按勾應作股】小差弦内加中差即黄廣股也【按股應作勾】大股内減小差股即黄廣股 大勾内減大差勾即黄長勾也虚弦得虛股即大差勾 虚弦得虚勾即小差
股也 明段弦較和即大差上勾弦較 明段弦較較即小差上勾弦較也 □段弦較和即大差上股弦較 □段弦較較即小差上股弦較也大差勾内減虚弦餘即虚股 小差股内減虚弦餘即虚勾也 以大差和減大股即虚勾 以小差和減大勾即虚股也 以大差差減圓徑即明勾此差若多於圓徑則内減圓徑餘即虚勾也【按此條因題數偶合而誤若勾股差甚大甚小者皆不能合】 以小差差減圓徑即小差弦也 大差弦上加一徑即大股上加虚勾也 小差弦上加一徑即大勾上加虚股也大差股内減高弦餘即高股内減半徑 平弦内減小差勾餘即半徑内減平勾也 大差内減虚差即二明差 小差内減虚差即二□差也
大弦内減大差股小差勾共即圓徑 三事和内減二之大差股小差勾共即三个圓徑也
大差勾小差股相併名混同即一圓徑一虚弦也若以相減即虚差也
大差和小差和二數相併即大弦虚弦共也 二數相減即中差虚差共也【又】半之併數即為極弦虚弦共也【又】為高弦平弦共【又】為皇極勾股共也
大差差小差差二數相併即兩个皇極差【又】為大差弦内減小差弦也 二數相減而半之即是皇極弦上減圓徑也【即傍差】
右大小差
大差差小差差虚差共為一个通差 高平極三差共亦同上 明□虚三差共為一个極差也 諸黄方面亦倣此
邊黄内減底黄即虚差 黄廣黄内減黄長黄即二虚差 高黄内減平黄即虚差蓋高黄即虚股平黄即虚勾也 大差黄内減小差黄即二虚差蓋大差黄即二明勾小差黄即二□股也 明黄内減□黄餘即虚差 □弦上三差合成一个虚黄方
高差内減平差為傍差 邊差内減底差亦同上明差内減□差亦同上 大差差内減小差差為二旁差 黄廣差内減黄長差亦同上
極雙差即明□二弦共 内加虚雙差即明□二和共 内減虚雙差即明雙差□雙差共也 内加旁差即極弦内少个虚弦旁差差 内減旁差即虚和也 内加虚差即極弦内少二□股 内減虚差則極弦内少二明勾也
極差内加旁差為大差差 内減旁差為小差差也内加虚差即角差 内減虚差即次差也 倍
極差為大差差小差差共則倍旁差為之較 倍極弦為大差弦小差弦共倍極差為之較 以極差為明差平差共則以蓌差為之較 以極差為高差□差共則以蓌和為之較 副置蓌和上加蓌差而半之即旁差也 減蓌差而半之則虛差也 極差内減二之平差得蓌差
角差内加旁差為二高差 内減旁差即二平差也内加明□二差併而半之得極差 内減明□
二差而半之則虚差也 内加極差則通差 内減極差則虚差也
以虚差減於明和為明□二股共 以虚差加於□和為明□二勾共也 又副置二和共上加次差而半之即明□二股共 減次差而半之即明□二勾共也 明□二股共以高差為之較 明□二勾共以平差為之較
以高差減明和即虚弦 以平差加□和亦同上以高差減高股即半徑 以平差加平勾亦同上以高差減大差差即明差 以平差減小差差
即□差也 以高差減大差即高弦 以平差加小差即平弦也 二之平差内去虚差餘即小差差 去二虚差即兩个□差
高股即半徑上股方差 平勾即半徑上勾方差故高勾平股共為全徑也 黄廣股即全徑上股方差 黄長勾即全徑上勾方差 故黄廣勾黄長股共數為兩个全徑也
邊弦内減底弦即皇極差 邊股内減底股即高差【又】為底弦内減大勾 邊勾内減底勾即平差【又】為大股内減邊弦也
大勾減底弦餘即半徑為勾之中差也 大股内減邊弦餘即半徑為股之中差也 邊股底勾相併即大弦 若以相減即通中差也
二高股一虚差合成一个股圓差 二平勾一虚差合成一个勾圓差【按此二條誤當云二明股一虚股合成一个股圓差 二□勾一虚勾合成一个勾圓差也】
明雙差亦為明□二大差其較則明差也 □雙差亦為明□二小差其較則□差也 明雙差内減明差即虚黄 □雙差上加□差亦同上 以明雙差加明和即兩明弦 以□雙差加□和則兩□弦也 以明雙差減明和而半之即明黄【又】為虚大差 以□雙差減於□和而半之即□黄【又】為虚小差也 以虚大差減明和即為明弦 以虚小差減□和即□弦也 明雙差□雙差相較則次差也 明雙差□雙差相併加於明□二和共則為兩个極雙差 若以減於明□二和共則為兩个虚雙差也 明雙差上加虚雙差即明□二股共 □雙差上加虚雙即明□二勾共也
以明□二股共為明弦□黄共則高差虚黄共為之較【按明弦又□黄較】為明大小差虚大小差共則明□二股共内去兩个虚雙差為之較也【按明大小差虚大小差之較】以明□二勾共為□弦明黄共則以平差虚黄
較為之較【又】為□大小差虚大小差共則明□二勾共内減兩个虚大小差為之較也【按虚大小差□大小差之較】
明□二和共内減旁差即二虚弦 虚弦内加旁差明股□勾共也
明和内去平差即明股□勾共 □和上加高差亦同上也 明和内去高差即虚弦 □和上加平差亦同上 明弦内去高差即虚勾 □弦上加平差即虚股也 明股内去□股即高差 去□勾則極差也 明勾内去□股即虚差 去□勾則平差也
明□二股併内減虚弦即明差 明□二勾併減於虚弦即□差
明□二和共【又】為明□二弦共與明□二黄共數也其較則明雙差□雙差共數也 其明□二和共數内減旁差即二虚弦也 若内減虚雙差即明□二弦共也
極弦得極差為大差弦大差弦内減明和則高弦内減虚大差也 内減極差則為小差弦小差弦内減□和則是平弦内減虚小差也 又大差弦内減明和與高股共餘則為虚勾不及明勾數 小差弦内減□和與平勾共餘則為□股不及虚股數也
右諸差
邊勾邊股差【又】為皇極差與高差共也【又】為邊弦内去大勾也 邊勾邊弦共【又】為大勾邊股共 邊勾邊弦較【又】為大差弦内減半徑也 邊股邊弦較【又】為□股弦和
底勾底股差【又】為皇極差平差共【又】為大股内去底弦【又】為高股内去底小差 底勾底弦共為大弦内少个底股大勾差 底勾底弦較【又】為明弦上勾弦和 底股底弦共與邊勾邊弦共同 底股底弦較【又】為底勾内少小差股也
邊股内減高弦餘則高股 内減大差弦餘則明勾内減底弦即底股内減大勾也【又】為高弦内減
底勾也
底勾内減平弦餘即平勾 内減小差弦餘即□股以底勾減於邊弦餘即大股内減邊勾也【又】為
邊股内減平弦也
邊弦内減底股與底弦内減邊勾同為皇極弦内減半徑也
皇極勾内減明勾餘即平勾也若減□勾即半徑也倍之則為底勾明勾共 皇極股内減□股餘即高股也若減明股餘即半徑也倍之則為邊股□股共也
明股得虚股即高股 明勾得虚勾即半徑 □股得虚股即半徑 □勾得虚勾即平勾也 高弦内減高股即□股 平弦内減平勾即明勾也明弦内減明差即虚股 □弦内加□差即虚勾也 高股即虚明二股共 平勾即虚□二勾共也 明弦明勾併數與高股同 □弦□股併數與平勾同也
明股□勾相倂減於極弦即虚和【又】為極黄虚黄共數也
明□二弦併 内減□雙差即明□二股併 内減明雙差即明□二勾併 内加虚弦即極弦 内減虚弦即明大差□小差併也
以明和為明弦明黄共則明雙差為之較 以□和為□弦□黄共則□雙差為之較也 明和【又】為高差虚弦共【又】為極差與明□二勾共數 □和【又】為平差少於虚弦數【又】為極差少於明□二股數
半之三事和内加半黄方即勾股共 若減之則弦也 半圓徑内加半虚黄即虚和 減半虚黄即虚弦也【又】以半虚黄加明和即高股以半虚黄加□和即平勾也 加明股則明弦 加□股則□弦也 減明勾則明黄 減□股則□黄也 以虚黄加明黄則為虚股 以加□黄則虚勾也
右諸率弦見
高弦□弦共為極弦其差即虚弦極差共也 高股□股共為高弦其差即虚股高差共也 高勾□勾共為平弦其差即半徑内減□勾也 高和□和共為極和其差即極和内少二□和也 高差□差共為極差其差即虚差旁差共也 高黄□黄共為虚弦其差即□黄不及虚股數也【高黄即虚股】高大差□大差共即明弦其差即半虚黄不及明股數也此高大差即明股此□大差即半虚黄也高小差【即□股】□小差共即□弦其差即□小差
不及□股數也 明平二弦共亦為極弦其較即虚弦不及極差數也 明平二股共亦為高弦其較即明股内減半徑也 明平二勾共亦為平弦其較即平差内去虚勾也 明平二和共亦為極和其較即極和内少二之平和也 明平二差共亦為極差其較即虚差不及旁差數也 明平二黄共亦為虚弦其較則虚勾【按虚勾即平黄】不及明黄數也 明平二大差共亦為明弦其較即明勾不及明大差數【平大差即明勾】 明平二小差共亦為□弦其較則□勾不及半虚黄數也此明小差即半虚黄此平小差即□勾
右四位相套
邊弦 自減其股為平勾 自減其勾為明股明弦併 減於通弦餘平弦 減於通股餘平差 内減通勾餘邊差 内減底弦餘極差 内減底股為半徑旁差共【又】為極弦内少半徑 内減底勾即大股内去邊勾也 内減黄廣弦餘□弦 内減黄廣股即小差股内去平差 内減黄廣勾即大差股内去平差 内減黄長弦【又】得黄長弦【按此條誤】 内減黄長股與内減黄廣勾同 内減黄長勾即大股内去極勾虚勾共 内減皇極弦餘高弦
底弦 自減其股為□勾□弦併 自減其勾為高股 減於通弦餘高弦 減於通股餘底差 内減通勾餘高差 減於邊弦餘極差 減於邊股即底差内去半徑 内減邊勾即高差平勾共減於黄廣弦餘為明大差□小差併【按此條亦係數偶合】減於黄廣股即底差内去小差股 内減黄廣勾即一个明弦一个黄長股弦較 内減去黄長弦餘明弦 内減黄長股與内減黄廣勾同 内減黄長勾餘為高股明勾共 内減極弦為平弦減於邊股【又】為底股内去大勾
高差平差共【又】為平勾高股差 以半徑減高股即高差 半徑内減平勾即平差 明勾内減□勾與平差同 明股内減□股與高差同 股圓差内減極股即高差也 勾圓差減於極勾即平差正股内去邊弦即平差也 底弦内去正勾即
高差也 大差勾内去極勾即平差也 極股内去小差股即高差也 極差内去□差即高差也内去明差即平差也
旁差即城徑極弦較也【又】為明差□差較【又】為高差平差較 極差得之為大差差也去之則為小差差也
又高差平差下 明和内去虚弦即高差 虚弦内去□和即平差
大差弦内加虚差即黄廣股 小差股内減虚差即黄長勾
通差内去高差即底差 内去平差即邊差也虚大差得二虚勾即勾圓差之股 虚小差得二虚股即股圓差之勾也
明股弦較與勾共即虚股也 □勾弦較與股共即虚勾也
半虚黄 □勾得之即□弦也減於此數即虚黄内去□弦也 □股得之虚勾也去之即□黄方也□弦得之即平勾内去□黄也去之則□勾也明勾内得之即虚股也去之則明黄方也 明
股得之即明弦也去之則明弦内去个虚黄方也明弦得之即高股内去明黄也去之則明股也右拾遺
按識别雜記約五百條皆隨時録其所得未經審定者故難易淺深不拘先後要皆精思妙義足以開示數理之蘊奥者徐光啟亟傳新法而於勾股義中獨推是書其必有所見矣
測圓海鏡卷一
