8-數學九章卷四上
數學九章卷四上 宋 秦九韶 撰測望
按測望之法見於晉劉徽海島算經原名重差其書一卷九題法簡數密此卷本其法而擴充之於古人之意實多所發明然其中譌舛之處較他卷尤甚今悉為正之至術有未合者更設法以附其後焉
望山高遠
問名山去城不知高遠城外平地有木一株高二丈三尺假為前表乃立後表與木齊高相去一百六十四步先退前表三丈九寸次退後表三丈一尺三寸斜望山峯各與其表之端參合人目高五尺里法三百六十步步法五尺欲知山高及遠各幾何
答曰高二十里半零三步五分步之三 遠二十七里三百二十八步五百七十五分步之六十七
按術數誤後入目距山係三十五里二百三十九步一尺三寸其故詳後
術曰以勾股求之重差入之置二退表相減餘為高法通表間併法於上以目高減表高餘乘上為寔寔如法而一得山高以法乘表高為遠法【按此條法誤應以法乘表高與人目去地之較】以退後表乘高寔為遠寔寔如法而一得山遠
望山高遠圖【按舊圖畫山木在術前今山改移於此】
草曰置後退表三丈一尺三
寸減前退表三丈九寸餘
四寸為高法置表去木一百
六十四步以步法五十寸
通得八千二百寸為表間
併法四寸得八千二百四
寸於上以目高五尺
減表高二丈三尺餘通之為一百八十寸乘上得一百四十七萬六千七百二十寸為高實實如高法四寸而一得三十六萬九千一百八十寸為積寸次以步法五十寸約之得七千三百八十三寸五分步之三次以里法三百六十步約之得二十里一百八十三步五分步之三為山高【按此所得係人目上之山高若加人目高則多一步】次以法四寸乘表高二丈三尺得九百二十為遠法【按誤同前】以退後表三丈一尺三寸乘高實一百四十七萬六千七百二十寸得四億六千二百二十一萬三千三百六十寸為遠實實如遠法九百二十寸而一得五十萬二千四百五寸二十三分寸之一十九為積寸乃以步法五十寸乘遠法九百二十得四萬六千寸為法亦除遠實得一萬四十八步不盡五千三百六十與法求等得八十俱以約之得五百七十五分步之六十七又以里法三百六十步約得二十七里三百二十八步五百七十五分步之六十七為山去後表入立望處等圖如後
按術中求山高法合其求遠以表高乘高法為遠法則誤蓋本法應即以高法為遠法以退後表乘表問并法為寔即得後人目距山之遠今以退後表乘高寔為寔而高寔乃目高減表高乘表減併法之數則遠法亦當以目高減表高乘高法今即以表高乘之則法數大故得數小也
乃以頭位八千二百四寸乘中一百八十寸得一百四十七萬六千七百二十寸為高寔
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四上>
乃以步法五十寸乘中位遠法九百二十寸得下位四萬六千寸為後圖中位步寸法
乃以中除上得下位里數及零步其不盡寸與法求得八十俱約之為步分母子之數
臨臺測水
問臨水城臺立高三丈其上架樓其下址側脚濶二尺謢岸排沙下橋去址一丈二尺外椿露土高五尺與址下平遇水漲時浸至址今水退不知多少人從樓上欄杆腰中駕一竿出外斜望水際得四尺一寸五分乃與竿端參合人目高五尺欲知水退立深涸岸斜長自臺址至水際各幾何
按算題固不厭其難然必簡而不漏繁而不贅始為合作如此題本意謂竿端與臺址上下懸直則側脚闊二尺句已贅又不明言人目距臺邊遠近皆故為黯黮也
術曰以勾股變法兼少廣求之求涸岸斜長置出竿乘臺高為段以去基乘段為闊泛以岸高乘段為淺泛以目高乘去基為約泛三泛可約者約之為定率不可約徑為率以闊率自乘為闊冪以淺率自乘為淺冪併闊淺二冪共為竣冪復乘闊冪於上以臺高冪乘上為竣實次以闊率乘淺率為寄以臺高數乘闊率又乘約率得數内減寄餘自乘為竣隅驗峻實峻隅兩者可約求等約之為峻定實峻定隅開同休連枝平方得峻岸斜長【同休格先以隅開平方得數名同隅以同隅乘定實開之得數為寔以同隅為法除之得竣斜 按此條誤草中乃即以定實開平方得數以同隅除之為竣斜也】求水退深基岸高冪乘竣定實為深實以去岸冪併岸為冪乘竣定為深隅【其深實深□可約約之仍以同休格入之】開連枝平方得水退深
臨臺測水圖【按舊圖畫樓臺不畫正高在術前今改正移于此】
草曰以出竿四
十一寸五分乘
臺高三十尺得
一百二十四尺
五寸為段以去
址一十二尺乘段得一千四百九十四以為闊泛以護岸高五尺乘段一百二十四尺五寸得六百二十二尺五寸為淺泛以目高五尺乘去址一十二尺得六十尺為約泛以闊泛淺約泛三者求等等得一尺五寸皆以約其闊泛得九百九十六尺為闊率其淺泛得四百一十五尺為淺率其約泛得四十尺為約率以闊率九百九十六自乘得九十九萬二千一十六尺為闊冪以淺率四百一十五自乘得一十七萬二千二百二十五尺為淺冪倂闊淺二冪得一百一十六萬四千二百四十一為竣冪以闊冪九十九萬二千一十六尺乘竣冪得一萬一千五百四十九億四千五百六十九萬九千八百五十六尺於上又以臺高三十尺自乘得九百尺為臺高冪乘上得一千三十九萬四千五百一十一億二千九百八十七萬四百尺為竣實次以闊率九百九十六乘淺率四百一十五得四十一萬三千三百四十為寄以臺高三十乘闊率九百九十六得二萬九千八百八十文乘約率四十得一百一十九萬五千二百内减寄餘七十八萬一千八百六十尺自乘得六千一百一十三億五百五萬九千六百尺為隅以隅與竣實求等得二千四百八十萬四百俱以約之得四千一百九十一萬二千六百七十六尺為竣定實得二萬四千六百四十九為竣定隅開同休連枝平方得竣岸至水際斜長驗同休格乃以定隅二萬四千六百四十九萬為實先以一為隅開平方得一百五十七為同休法次以竣定實四千一百九十一萬二千六百七十六尺為實亦以一為隅開平方得六千四百七十四尺為同休實實如同休法一百五十七而一求等得一俱以一各約之其法與餘只得此數乃直命之得四丈一尺一百五十七分尺之三十七為涸岸斜長至水際求退水深置岸高五尺自乘得二十五為岸高冪乘竣定實四千一百九十一萬二千六百七十六尺得一十億四千七百八十一萬六千九百為深泛以去岸一十二尺自乘得一百四十四尺為去岸冪併岸高幕二十五尺得一百六十九尺以乘竣定隅二萬四千六百四十九得四百一十六萬五千六百八十一為隅泛置二泛求等得一百六十九俱約二泛得六百二十萬一百為定實得二萬四千六百四十九為深定隅開連枝平方得水退立深驗同休格乃以深定隅二萬四千六百四十九為實先以一為隅開平方得一百五十七為同休法次以深實實六百二十萬一百為實亦以一為隅開平方得二千四百九十為同休實實如法一百五十七而一得一十五尺不盡一百三十五與法求等得一俱以一各約法與只得此數乃直命之得一丈五尺一百五十七分尺之一百三十五為水退立深數也
按此條術雖甚繁理數皆極精密非兼通於勾股通分之法者不能立也但累乘累除錯綜變換皆未嘗明言其不能無金鍼不度之疑今繪圖以之並條拆其乘除各數于後
如圖甲乙為臺正高乙丙為樁去
臺址丙丁為岸高乙戊為臺址至
水際即為峻斜己庚為人目高甲
庚為出竿戊癸為水面正深題有
甲乙臺高乙丙樁去址丙丁去樁
甲庚出竿己入庚
目高求乙辛竣斜自丁點與丙丁平行相等作丁辛線自乙點與丙丁並行作丁作乙辛線自丁點與戊甲平行作丁壬點得壬丁辛勾股形内有乙丁辛勾股形一與乙丙丁辛等有乙丁壬三角形一與甲乙戊形同式法當以己庚小股乘庚辛大勾以甲庚小勾除之得壬辛大股次以乙丁三小角形下斜邊乘甲乙戊形直邊以乙辛减壬辛餘壬乙為乙丁壬形直邊為法除之得乙戊為甲乙戊形下斜邊即所求臺址至水際之峻斜其法只用丨除两次甚屬易簡即遇數不盡者以通分御之加一二次乘除可以乃必增至十餘次多者始欲窮數之變就一題以為諸法之例非徒為繁難也試依術内逓次乘除之數逐條細論之
出竿【甲庚】乘高臺【甲乙】為段去址【乙丙】乘段為闊率【原名闊泛約之為闊率今即為闊率】為去址乘臺高出竿長冪之數闊率自乘為闊冪即如去址冪乘臺高出竿長冪自乘之數又即如去址冪乘臺高冪又乘出竿冪之數
岸高【丙丁】乘段為淺率【原名淺泛約之為淺令即淺淺率】為岸高乘臺高出竿長冪之數淺率自乘為淺冪即如岸高冪乘臺高出竿長冪自乘之數又即如岸高冪乘臺高冪又乘出竿冪之數
併闊冪淺冪為淺冪為竣冪 【乙丁】冪乘臺高出竿長冪自乘之數又即如小斜冪乘臺冪又乘出竿竿冪之數
闊冪峻冪相乘為上數即如小斜冪乘去址冪又乘臺高冪自乘又乘出竿冪自乘之數
闊率淺率相乘為寄數即土去址岸高相乘又乘臺高冪又乘出竿冪之數
去址目高【己庚】相乘為約率即如出竿乘壬辛
臺高乘闊率即如去址乘臺高冪又乘出竿之數又以約率乘之即如去址壬辛相乘冪又乘臺高冪又乘出竿冪之數内减寄數餘去址壬乙相乘冪又乘臺高冪又乘出竿冪之再自乘之隅數即如壬乙冪乘去址冪又乘臺高冪自乘又乘出竿冪自乘之數
上數隅數内去址冪臺高冪自乘出竿冪自乘各數皆同則用上數乘隅數除即如用小斜冪乘壬乙冪除矣以臺高冪乘上數若以隅數除之即得竣斜【乙戊】冪但數不能盡故約之帶隅數開平方所謂連枝同休法也至闊泛淺用于乘數約泛用于除數故可两邊同約又為省算也求水立深同此
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四上>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四上>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四上>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四上>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四上>
陟岸測水
問行師遇水須計篾䌫搭造浮橋今垂繩量陟岸高山丈人立其上欲測水面六闊以六尺為矩平持去目下五今矩本抵頤遥望水彼岸與矩端岸相合又望水此岸沙際入矩端三尺四寸人目高五尺其水面闊幾何
答曰水闊二十三丈四尺六寸【按應二十三丈八尺】
術曰以勾股重差求之置短去目下寸為法以人目併岸高減去法【按減法誤】餘乘人矩端為實如法而一得水闊陡岸測水圖【按舊圖畫岸水視緑不能在術前令改正移於此】
草曰置矩本去目下五寸
為法以入目高五尺併岸
高三丈得三丈五尺通為
寸得三百五十寸减去五
寸餘三百四十五寸乘沙
際入矩端三十四寸得
一萬一千七百三十寸為實實如法五寸而一得二千三百四十六寸展為二十三丈四尺六寸為水闊合問
按測望諸線皆合于人目之一點其高正當自人目計之今减去人目距矩自矩下計之不得其理矣
表望方城
問敵城不知廣遠傍城南山原林間房之林際有木二株南北相去一百六十步遥與城東方面参相直乃于二水之東相對立两表表間與木四方平人目以繩維之人自東後表向西行一十步望城東北隅入東前表一十五步又望城東南隅入東前表四十八步強半步里法三百六十欲知其方廣及相去幾何答曰城東廣各一十二里三百二十步城去木
九里三百二十步
按答數皆誤今推得城方廣各一十一里二百二十步又三十一分步之二十城東南隅至北木一里九十九步又三十一分步之一十二
術曰以勾股重差求之置城東南隅景入表减表間餘乘表間為城去木寔以西方步減城東北隅景入表餘為法【按此句法誤】得城去木數以城東北隅景入表減表間餘乘表間為廣實實如前法而一得城廣【按此所得乃城東北隅至前木之遠以為城廣數誤也】
表望方城圖【按舊圖畫城南二木與城東面不城一直線在術前今改正移于此】
草曰以西行一十步減東
北隅入表一十五步餘五
步為法以城東南隅景入
表四十八步七分半減表
間一百六十步餘一百一
十一步二分半乘表間一
表六十步得一萬七千八百為城去木寔以法五步除之【按誤同上】得三千五百六十步以里
法三百六十約之得九里三百二十步為城去木里及步數 次置城東北隅京十表一十五步减表間一百六十餘一百四十五步乘表間一百六十得二萬三千二百為减實以以前法五步除之得四千六百四十步以里法三百六十約之為一十二里三百二十步即城方廣里及步數【按誤亦同上】合問
按此題之要在二本與城東面成一直面方城與表木方形各邊俱平西行減城東南隅入表之較與表間成小勾股形城東南隅入表間表間之表與城東南隅至前木成大勾股形此二形同式可以相比故術草中第二求以城東北隅入表減表間之餘乘表間為實以西行步減城東北隅入表之餘為法除實是也但所得為城東北隅至前木之遠以為城廣則誤矣又西行步減城東南隅入表之較與表間成小勾股形城東南隅入表減表間之較與城東南隅至前木成大勾股形此二形亦同式可以相比以城東南隅入表減表間之餘乘表間為實應以西行步減城東南隅入表之為法除之即得城東南隅之前木之遠術草中以西行步減城東北隅入表之餘為法故得數大七倍餘既得城東面南北二隅距前木之遠則相減為城廣可知矣
遥度城
問有圓城不知周徑四門中開北外三里有喬木出南門便折東門九里乃見木欲知城周徑各幾何【圓用故法】答曰徑九里 周二十七里
術曰以勾股夕桀求之一為從隅五因北外里為從七亷置北里冪八因為從五亷以北里冪為正率以東行冪為負率二率差四乘北里為益從從三亷倍負率成五亷為益上亷以北里乘上亷為實開玲瓏九乘方得數自乘為徑以三因徑得周
遥度圓城【圖舊圖畫城掛在術前今刪改移于此】
草曰以一為從隅以五因
北三里得一十五里為從
七亷以北三里自乘得九
里為正率以八因率得七
十二為從五亷以西行見
里自乘得八十一為負率以正率九減負率餘七十二位負差以四因之得二百八十八以乘北三里得八百六十四係負差所乘者為益三亷倍負率八十一得一百六十二乘五廉七十二得一萬一千六百六十四為益上亷以北三里乘上亷得三萬四千九百九十二為實置實亷隅玲瓏空隅位方亷以約實衆法不可超進乃于實上定商三里其隅與商相生得三為從下亷又與商相生入從七亷共得二十四為星亷又與商相生得七十二為從六亷又與商相生入五 内共得二百八十八又與商相生得八百六十四為從四亷又與商相生得二千五百九十二為正三亷内消益三亷八百六十四訖餘一千七百二十八為從三亷又與商相生得五千一百八十四為從二亷又與商相生得一萬五千五百八十二為從上亷内消益上亷一萬一千六百六十四訖餘三千八百八十八為正上亷又與商相生得一萬一千六百六十四為從方乃命上商三里除實適盡得三里以自乘之得九里為城圓徑之里數又以故法圓率三因之得二十七為城周
以上求率圖以後開方圖實與益皆負畫黑商與從皆正畫朱
按商實負字旁書已明今皆用黑
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四上>
按凡勾股難題用立天元一法取之多至三乘方而至元李冶測圓海鏡一百七十問僅一題取至五乘方猶自以為煩此題非甚難者乃取至九乘方蓋未得其要也細校術草中亷隅積實之數與立天元一法自然相生者迴殊且凡立天元一法開方後未有不得所求之數者今得數自乘始為所之數尤于古人立法之意不合爰另立取法並步算之式於後
法立天元一為圓城徑加三里得三里多一元為大股自之得九里多六元多一平方為大股冪九里為大勾自得之八十一里為大勾冪相併得九十里多六元多一年方為大弦冪又以大股為小勾弦和三里為小勾弦較和較相乘得九里多三元為小股冪二分天元之一為小勾加小勾三里得三里多二分元之一為小弦自得之九里多三元多四分平方之一為小弦冪乃以小冪與大股冪相乘得八十一里多八十一元多二十九平方又四分平方之一多四立方又二分之一多四分三乘方之一寄之又以大弦冪與小股冪相乘得八百一十里多三百二十四元二十七平方三立方與寄數等兩邊各减八十一里三百二十四元二十七平方三立方得四分三乘方之一多一立方二平方又四分平方之一少二百四十三元與七百二十九里等各以四乘之得一三乘方多六立方九平方九百七十二元與二千九百一十六里等乃以里數為實以元數為益方平方數為從上亷立方數為從下亷三乘方數為隅開帶縱三乘方得九里為城徑開方式附後
法列寔及方亷隅數約商九
里乃以隅生商得九入下亷
得一十五又以下亷生商得
一百三十五入上亷得一百
四十四又以商生上亷得一
千二百九十六以消益方得二百二十四為從方以商生從方得二千九百一十六減實恰盡為開得三乘方為九里即城徑也
數學九章卷四上
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章>
