3-數學九章卷一下
數學九章卷一下 宋 秦九韶 撰大衍
積足尋原
問欲砌基一段見管大小方甎六門城甎四色令匠取便或平或側只用一色甎砌須要適足匠以甎量地計料稱用大方料廣多六寸深少六寸【按即多七寸】用小方廣多二寸深少三寸【按即多八寸】用城甎長廣多三寸深少一寸【按即多一尺一寸】以闊深少一寸【按即多五寸】廣多三寸以厚廣多五分深多一寸用六門甎長廣三寸深多一寸以闊廣多三寸深多一寸用厚廣多一寸深多一寸皆不匼匝未免修破甎料禆補其四色甎大方方一尺三寸小方方一尺一寸城甎長一尺二寸闊六寸厚二寸五分六門長一尺闊五寸厚二寸欲知基深廣幾何
按題意謂以一尺三寸量基之廣未餘六寸以一尺一寸量之餘二寸以一尺二寸量之餘三寸以六寸量之亦餘三寸以二寸五分量之餘五分以一尺量之餘三寸以五寸量之亦餘三寸以二寸量之餘一寸以求廣也其求深之意亦同
答曰深三丈七尺一寸 廣一丈二尺三寸
術曰以大衍求之置甎方長闊厚為元數以小者為單起一先求總等存一位約衆位【列為多者隨意立號】乃為元數連環求等約為定母以定相乘為衍母各定約衍母得衍數滿定去之得奇奇定大衍得乘率以乘衍數得用數次置廣深多少數多者乘用少者減元數餘以乘用併為總滿衍母去之不滿得廣深
草曰置四甎方長闊厚係八數城甎厚有分為小者皆通之為單大方得一百三十分小方得一百一十分城甎長得一百二十分闊得六十分厚得二十五分六門甎長得一百分闊得五十分厚得二十分
錐行置之右列位稍多甎名相互今假八音為號位先以最少者自木二十與革二十五求等得五乃反約木二十為四木四與土五十求等得二以約五十為二十五木四與匏六十求等得四約六十為一十五木四與竹一百求等得四約一百為二十五木四與絲一百一十求等得二約一百一十為五十五木四與石一百二十求等得四反約木四為一以木一與金求等得一不約為木與諸數求等約訖為一變得數具圖如後
次以革二十五與土五十【按前巳約土為二十五次變不應復用原數然於得數却無碍】求等得二十五約五十為二以革二十五與匏一十五求等得五約匏一十五為三以革二十五與竹二十五求等得二十五約竹二十五為一又以革二十五與絲五十五求等得五約絲五十五得一十一以革二十五與石一百二十求等得五約一百二十為二十四以革二十五與金一百三十求等得五約金一百三十得二十六革與諸數徧約訖為二變具圖如後
乃以土二與匏三竹一絲一十一求等皆得一不約以土二與石二十四求等得二及約土二得一又不土一與金二十六求等得一不約土與諸數約訖為三變具圖如後
乃以匏三與竹一絲十十一求等皆得一又以匏三與石二十四求等得三約石二十四為八又匏三與金二十六求等得一不約匏與諸數約訖以為四變次以竹一與絲一十一與石二十四【按巳約為八云二十四誤】與金二十六求等皆得一竹與諸數約訖為五變次以絲一十一與石二十四【按誤同上】與金二十六求等皆得
一不約為六變復以石二 【十】四【按誤同上】與金二十六求等得二約金二十六為一十三至此七變連環求等約俱畢得數為定母列圖如後
右定母列右行以相乘得八萬五千八百為衍母以各定母約衍母各得衍數其竹木土定得一者為無
金定一十三得衍數六千六百石定八得衍數一萬七百二十五絲定一十一得衍數七千八百竹定一無衍匏定三得衍數二萬八千六百土定一無衍數革定五五得衍數三千四百三十二木定一無衍數各滿定母去之得奇數
金得奇九石得奇四絲得奇一匏得奇一草得奇七其絲匏得奇數一者便以一為乘率其金石革三處奇數皆與本定母用大衍求一入之各得乘率列右行
金得三石得五絲得一革得一革得一十八各為乘率寄左行衍數各得為用數
凡諸用數同類者類必多可互借以補無者先驗革元數二十五與木元數二十為同類求等得五以等五約衍母八萬五千八百得一萬七千一百六十乃於革用數内減出以補木位為木用餘四萬四千六百一十六為革用次驗竹元數一百與土五十為同類以求等得五十以等五十約衍母八萬五千八百得一千七百一十六亦於革用内各借與竹土為用數革止餘四萬一千一百八十四為用得諸定用數
按無用數則此條可省借數轉生煩擾非法也其所以可用借補者蓋以同類之元數其較餘之奇偶必同故一數可分用也然惟元數同偶者為然同奇則有不可用者此題可用因題中餘數未過小元數
也
右行定用始列錐行假號求得今照甎色遷次列之
旣照甎次序列用數於右行乃驗問題所謂大方甎砌廣多六寸小方多二寸城甎長多三寸城甎闊多三寸厚多五分六門長多三寸闊多三寸厚多一寸對本用列左行各對乘之具圖如後
兩行乘畢金得一百一十八萬八千絲得一十五萬六千石得一百六十萬八千七百五十匏得八十五萬八千革得二十萬五千九百二十竹得五萬一十四百八十土亦得五萬一千四百八十木得一十七萬一千六百乃併前八位數共得四百二十九萬一千二百三十分為總滿衍母八萬五千八百去之不滿一千二百三十分約之為一丈二尺三寸為基元廣數 乃求其深驗問題大方砌少六寸小方砌少三寸城甎長砌少一寸闊砌少一寸厚砌多一寸六門長砌多一寸六門闊砌多一寸六門厚砌多一寸列為中行次置諸甎元數列為左行課減之具圖如後
今以中行多者存之少者用減左行存者左行元數去之所減者左行餘數存之金得七十絲得八十石得一百一十匏得五十革得一十竹一十土一十本一十具圖如後
列為左行以對右行定用數具圖如後
以左行多餘數對乘右行用數金得一百三十八萬六千絲得六十二萬四千石得五百八十九萬八千七百五十匏得一百四十三萬革得四十一萬一千八百四十竹得一萬七千一百六十土得一萬七千一百六十木得一十七萬一千六百具圖如後
併八位得九百九十五萬六千五百一十分為總滿衍母八萬五千八百去之不滿三千七百一十分展為三丈七尺一寸為基地深
推計土功
問築堤起四縣夫分給里步皆同齊闊二丈里法三百六十步步法五尺八寸人夫以物力差定甲縣物力一十三萬八千六百貫乙縣物力一十四萬六千三百貫丙縣物力一十九萬二千五百貫丁縣物力一十八萬四千八百貫每力七百七十貫科一名春程人功平方六十尺先到縣先給今甲乙二縣俱畢丙縣餘五十一丈丁縣餘一十八丈不及一日全功欲知堤長及四縣夫所築各幾何
按題意以四縣修堤總長相同每日所修之長不同以各每日所修之長計總長或適足或有餘以求總長也但不正言其數而設堤闊數各縣物力數一夫力數一夫平方數以取每日所修堤長數故令人不能驟解
答曰堤長一十九里二百三十五步五尺 甲縣夫築一千二十六丈【乙丙丁同】 乙縣夫築一千七百六十八步五尺六寸【甲丙丁同】 丙縣夫築四里三百二十八步五尺六寸【甲乙丁同】 丁縣夫築【同前三縣數】
按四縣所築堤長等則丈數步數里數皆同今以三數分載三縣下而復註以與某縣同殊混人目
術曰置各縣力以程功程為實以力率乘堤齊闊為法除之得各縣日築復數【有分者通之互乘之得通數】求總等不約一位約衆位曰元數連環求等約奇得定母陸續求衍數奇數乘率用數以丙丁縣不及數乘本用併為總數以定母相乘為衍母滿母去總數得各縣分給里步積尺數以縣數因之為堤長各以里法步法約之為里步
草曰置甲縣力一十三萬八千六百貫乙縣力一十四萬六千三百貫丙縣力一十九萬二千五百貫丁縣力一十八萬四千八百貫以程功六十尺徧乘之皆以貫默【按貫默乃以一貫千文為法之名與前官陌市陌名相似】約之甲得八百三十一萬六千尺乙得八百七十七萬八千尺丙得一千一百五十五萬尺丁得一千一百八萬八千尺各為實次以力率七百七十貫乘堤齊闊二十尺亦以貫默約之得一萬五千四百尺為法徧除諸各實甲得五十四丈乙得五十七丈丙得七十五丈丁得七十二丈各為四縣衆夫每日築長率按大衍術命曰復數列右行
以復數【按前術以尾數在十以上者為復數此數不合】求總等得三大【按此條原本皆以丈為寸於義無取今皆改正】以約三位多者不約其少者甲得五十四乙得一十九丙得二十五丁得二十四仍為元數次以兩兩連環求等各約之
按四縣每日築長數皆以丈為单位非位數也但一等數可以度盡四數必先求總等約之然後可以為元數即此可見總等法不獨用於通數復數也
先以丁丙求等又以丁乙求等皆得一不約次以丁甲求等得六只約甲五十四得九不約丁次以丙與乙求等又以丙與甲九求等皆得一不約後以乙與甲九求等得一不約復驗甲九與丁二十四猶可再約又求等得三以約丁二十四得八復乘甲為二十七
次以定母四位相乘求得一十萬二千六百為衍母各以定母約衍母甲得三千八百乙得五千四百丙得四千一百四丁得一萬二千八百二十五為衍數
滿定母各去衍數甲不滿二十乙不滿四丙不滿四丁不滿一各為奇數
以各定母與本奇數用大衍求一術入之各得乘率甲得二十三乙得五丙得一十九丁得一
以右行乘率對乘寄左行衍數甲得八萬七千四百乙得二萬七千丙得七萬七千九百七十六丁得一萬二千八百二十五各為用數
次驗四縣所築有無不及零丈尺寸今甲乙俱畢為無丙餘五十一丈丁餘一十八丈為有以丙丁二縣餘丈各乘丙丁二用數其丙五十一丈乘丙用七萬七千九百七十六得三百九十七萬六千七百七十六丈為丙總以丁餘一十八乘丁用一萬二千八百二十五得二十三萬八百五十丈為丁總併二總得四百二十萬七千六百二十六丈為總數亦以丈通衍母得一十萬二千六百丈仍為衍母滿去總數不滿一千二十六丈為所求長率以四縣因之得四十一百四丈為實以步法五尺八寸除之得七千七十五步五尺為堤長步以里法三百六十步約之得一十九里二百三十五步五尺為堤通長置長率一千二十六丈以步法約之得一千七百六十八步五尺六寸又以里法約之得四里三百二十八步五尺六寸為各縣所給道里步尺數
餘米推數
問有米鋪訴被盗去米一般三籮皆適滿不記細數今左壁籮剩一合中間籮剩一升四合右壁籮剩一合後獲賊係甲乙丙三名甲稱當夜摸得馬杓在左壁籮舀入布袋乙稱踢着木履在中籮舀入袋丙稱摸得漆椀在左邊籮舀入袋將歸食用日久不知數索到三器馬杓滿容一升九合木履容一升七合漆椀容一升二合欲知所失米數計贓結斷三盗各幾何答曰共失米九石五斗六升三合環甲米三石一斗九升二合 乙米三石一斗七升九合丙米三石一斗九升二合
術曰以大衍求之列三器所容為元數連環求等約為定母以相乘為衍母以定各約衍母得衍數各滿定母去之得奇以奇定用大衍求得乘率以乘衍數得用數次以各剩米乘用併之為總滿衍母去之不滿為每籮米各以剩米減之餘為甲乙丙盗米併之為共失米
草曰列三器所容一升九合一升七合一升二合為元數連環求等皆得一不約便以元數相乘得三千八百七十六為衍母以各元數為定母以定約衍母得衍數甲得二百四乙得二百二十八丙得三百二十三各為衍數列左行以三定母甲十九乙十七丙十二列右行具圖如後
各滿定母去衍數得奇數甲得一十四乙得七得七丙得一十一
各以奇定用大衍求一各得乘率甲得十五乙得五丙得一十一各為乘率列右行對寄在行衍數具圖如後
以丙行對乘之得用數甲得三千六十乙得一千一百四十丙得三千五百五十三列右行具圖如後
既得用數始驗問題三籮剩米列左行對三人所用以兩行對乘之甲得三千六十乙得一萬五千九百六十丙得三千五百五十三
併三數得二萬二千五百七十三為總數滿衍母三千八百七十六去之不滿三千一百九十三合展為三石一斗九升三合為三籮適滿細數以左籮剩一合減之餘三石一斗九升二合為甲盗米又為丙盗米以中籮剩米一升四合減之餘三石一斗七升九合為乙盗米併三人共得九石五斗六升三合為所失總米合問
程行計地
問軍師獲捷當早點差急足三名往都下節節走報具甲於前數日申末到乙後數日未正到丙於今日辰未到據供甲日行三百里乙日行二百四十里丙日行一百八十里問自軍前至都里數及三人各行日數幾何
答曰軍前至都三千三百里 甲行一十一日乙行一十三日四時半 丙行一十八日二時
術曰以大衍求之置各行里先求總等存一約衆得原里次以連環求等約奇復乘偶得定母以定相乘為衍母滿定除衍
衍得乘率以乘衍數得用數 次置辰刻正末乘各行里為實以晝六時約之得餘里各乘用數併為總滿衍母去得所求至都里以各日行約之得日辰刻數草曰置甲三百里乙二百四十里丙一百八十里先求總等得六十只存甲三百勿約乃約乙二百四十得四次約丙一百八十得三各為元數連環求等
先以丙乙求等得一不約次以丙甲求等三於術約奇不約偶盖以等三約三因得一為奇盧無衍數乃便徑先約甲三百為一百復以等三兼丙三為九既丙九為奇甲百為偶此即是約奇弗約偶次以一四與甲百求等得四以四約一百得二十五為甲復以四乘乙四得一十六為乙各為定母
以定母相乘得三千六百為衍母以各定約衍母為衍數甲得一百四十四乙得二百二十五丙得四百
術數各滿衍母去之不滿為奇數甲得一十九乙得一丙得四
以各奇數與定母用大衍入之各得乘數甲得四乙得一丙得七各為乘率列右行
以乘率對乘寄左行衍數甲得五百七十六乙得二百二十五丙得二千八百各為用數
次置甲申末到者其酉初為夜此是甲以全日到為無餘里次置乙於未正到乃於卯時數至未正得四箇半時以四半乘乙行二百四十里得一千八十為實以畫六時約之得一百八十里為乙行不及全日之餘里次置丙於辰未到自卯初數至辰未得二時以因丙行一百八十里得三百六十為實以六時除之得六十里為丙行不及全日之餘里
以乙餘一百八十乘乙用二百二十五得四萬五百於中以丙餘六十乘丙用二千八百得十六萬八千加中共得二十萬八千五百為總滿衍母三千六百去之不滿三千三百里為軍前至都里以甲三百除之得一十一日以乙二百四十除之得一十三日四時半以丙一百八十除之得一十八日二時合問按凡總等數必小於連環等數若甚大即為連環等數此題數是也故再約即用求續等法不然不能合也
程行相及
問有急足三名甲日行三百里乙日行二百五十里丙日行二百里先差丙往他處下文字旣兩日又有文字遣乙追付已半日復有文字續令甲趕付乙三人偶不相及乃同時俱至彼所先欲知乙果及丙甲果及乙得日并里次問彼處去此里數各幾何
按題意謂三行遲疾不同乙後丙兩日甲後乙半日問幾日幾里可以追及又旣及之後三人不能同行及各至彼處之時刻皆與各起程之時刻相同盖言自此至彼所行皆為整日數也
答曰乙果追及丙八日行二千里 甲果追及乙二日半行七百五十里 彼處去此三千里
術曰以均輸求之大衍入之置乙己去日數乘乙行里為實以甲乙行里差為法除之得甲及乙日數辰刻以乘甲行得里次置丙旣去日乘丙行里為實以丙乙行里差為法除之得乙及丙日數以乘乙行得里然後置三人日行求總等約得原數以連環求等約得定母以定相乘得衍母各定約衍得衍數滿定去衍得奇奇定大衍得乘率以乘寄衍得用數視甲及乙里為乙率乙及丙里為丙率以乙日行滿去乙率不滿為乙餘以丙日行滿去丙率不滿為丙餘以二餘各乘本用併之為總滿衍去之不滿為彼去此里
草曰置乙己去日乘乙日行二百五十里得一百二十五里為實次置甲日行三百里減去乙行二百五十里餘五十里為差法除實得二日五十刻甲果及乙數以乘甲行三百里得七百五十為甲及乙里數次置丙既行二百乘丙日二百里得四百里為實次置乙行二百五十里減丙行二百里餘五十里為差法除實得八百為乙及丙日數以乘乙行二百五十里得二千里為乙得及丙之里數已上為先欲知果及數次列甲乙丙三名日行求總等得五十先約甲丙存得甲六乙二百五十丙四
以甲六丙四求等得二以二約甲為三復以二因丙為八次將乙二百五十與丙八相約得二乃約乙為一百二十五復以二因丙為十六定得甲三乙一百二十五兩十六為定母
以定相乘得六千為衍母以各定約衍母得衍數甲得二千乙得四十八丙得三百七十五求奇數
左上二千以甲三去之奇二左中四十八即為乙奇左下三百七十五丙十六去之奇也
各以大衍求得甲二乙一百一十二丙七各為乘率
以乘率對乘衍數甲得四千乙得五千三百七十六丙得二千六百二十五為泛用數
併三泛得二萬二千一乃多衍母一倍當半衍母六千得三千以消甲四千餘一千又消乙五千三百七十六餘二千三百七十六丙不消各為定用數
既得用數次視前草中甲及乙七百五十里為乙率乙及丙一千里為丙率各滿乙丙日行里去之
今乙丙二人所行各皆適滿去之無餘雖稱同時俱至乃各係全日所行便以乙丙二人約六千里得三千里為彼去此里數合問
按復數求元數用總等法尚屬未密盖總等約後有當連環求等者有當即求續等者其法不能定也今少為變通凡復數皆見十者先以十為總等徧約之【百千萬同】為元數俟連環求等畢復以總等十乘一數【百千萬同】然後再求續等以得定數爰依題數具式於後
法列三數於上以十為總等徧約之得甲三十乙二十五丙二十即為元數連環求等以甲與乙約得等數五【奇】約甲得六【偶】以甲與丙約得等數二【偶】約甲得三【奇】為甲數徧約畢次以乙與丙約得等數五【奇】約丙得四【偶】為乙丙二數徧約畢乃以總等十乘乙數得二百五十次求續等以甲與乙與丙相約俱無續等以乙與丙約得續等二【偶】約乙數得一百二十五【奇】復乘丙得八則甲三乙一百二十五丙八即為各定數也以三定數連乘得三千為衍母即所問彼處去此之里數較舊術算省而數亦確矣
數學九章卷一下
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章>
