2-幾何原本卷一之首
幾何原本卷一之首
西洋利瑪竇譯
界說三十六則
凡造論先當分别解說論中所用名目故曰界說凡歷法地理樂律算章技藝工巧諸事有度有數者皆依賴十府中幾何府屬凡論幾何先從一點始自點引之為線線展為面面積為體是名三度第一界
點者無分
無長短廣狹厚薄 如下圖【凡圖十干為識干盡用十二支支盡用八卦八音】
【甲】
第二界
線有長無廣
試如一平面光照之有光無光之間不容一物是線也真平真圓相遇其相遇處止有一點行則止有一線
線有直有曲
第三界
線之界是點【凡線有界者兩界必是點】
第四界
直線止有兩端兩端之間上下更無一點
兩點之間至徑者直線也稍曲則繞而長矣
直線之中點能遮兩界
凡量遠近皆用直線
甲乙丙是直線甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是曲線
第五界
面者止有長有廣
體所見為面
凡體之影極似於面【無厚之極】
想一線横行所留之迹即成面也
第六界
面之界是線
第七界
平面一面平在界之内
平面中間線能遮兩界
平面者諸方皆作直線
試如一方面用一直繩施於 角繞面運轉不礙於空是平面也
若曲面者則中間線不遮兩界
第八界
平角者兩直線於平面縱横相遇交接處
凡言甲乙丙角皆指平角
如上甲乙乙丙二線平行相遇不能作角
如上甲乙乙丙二線雖相遇不作平角為是曲線
所謂角止是兩線相遇不以線之大小較論
第九界
直線相遇作角為直線角
平地兩直線相遇為直線角本書中所論止是直線角但作角有三等今附著於此一直線角二曲線角三雜線角 如下六圖
第十界
直線垂於横直線之上若兩角等必兩成直角而直線下垂者謂之横線之垂線
量法常用兩直角及垂線垂線加於横線之上必不作銳角及鈍角
若甲乙線至丙丁上則乙之左右作兩角相等為直角而甲乙為垂線
若甲乙為横線則丙丁又為甲乙之垂線何者丙乙與甲乙相遇雖止一直角然甲線若垂下過乙則丙線上下定成兩直角所以丙乙亦為甲乙之垂線【如今用短尺一縱一横互相為直線互相為垂線】
凡直線上有兩角相連是相等者定俱直角中間線為垂線
反用之若是直角則兩線定俱是垂線
第十一界
凡角大于直角為鈍角
如甲乙丙角與甲乙丁角不等而甲乙丙大於甲乙丁則甲乙丙為鈍角
第十二界
凡角小於直角為銳角
如前圖甲乙丁是
通上三界論之直角一而己鈍角銳角其大小不等乃至無數
是後凡指言角者俱用三字為識其第二字即所指角也 如前圖甲乙丙三字第二乙字即所指鈍角若言甲乙丁即第二乙字是所指銳角
第十三界
界者一物之終始
今所論有三界點為線之界線為面之界面為體之界體不可為界
第十四界
或在一界或在多界之間為形
一界之形如平圓立圓等物多界之形如平方立方及平立三角六八角等物 圖見後卷
第十五界
圜者一形於平地居一界之間自界至中心作直線俱等
若甲乙丙為圜丁為中心則自甲至丁與乙至丁丙至丁其線俱等
外圓線為圜之界内形為圜
一說圜是一形乃一線屈轉一周復於元處所作如上圖甲丁線轉至乙丁乙丁轉至丙丁丙丁又至甲丁復元處其中形即成圜
第十六界
圜之中處為圜心
第十七界
自圜之一界作一直線過中心至他界為圜徑徑分圜兩平分
甲丁乙戊圜自甲至乙過丙心作一直線為圜徑
第十八界
徑線與半圜之界所作形為半圜
第十九界
在直線界中之形為直線形
第二十界
在三直線界中之形為三邊形
第二十一界
在四直線界中之形為四邊形
第二十二界
在多直線界中之形為多邊形【五邊以上俱是】
第二十三界
三邊形三邊線等為平邊三角形
第二十四界
三邊形有兩邊線等為兩邊等三角形【或銳或鈍】
第二十五界
三邊形三邊線俱不等為三不等三角形
第二十六界
三邊形有一直角為三邊直角形
第二十七界
三邊形有一鈍角為三邊鈍角形
第二十八界
三邊形有三銳角為三邊各銳角形
凡三邊形恒以在下者為底在上二邊為腰
第二十九界
四邊形四邊線等而角直為直角方形
第三十界
直角形其角俱是直角其邊兩兩相等
如上甲乙丙丁形甲乙邊與丙丁邊自相等甲丙與乙丁自相等
第三十一界
斜方形四邊等俱非直角
第三十二界
長斜方形其邊兩兩相等俱非直角
第三十三界
以上方形四種謂之有法四邊形四種之外他方形皆謂之無法四邊形
第三十四界
兩直線於同面行至無窮不相離亦不相遠而不得相遇為平行線
第三十五界
一形每兩邊有平行線為平行線方形
第三十六界
凡平行線方形若於兩對角作一直線其直線為對角線又於兩邊縱横各作一平行線其兩平行線與對角線交羅相遇即此形分為四平行線方形其兩形有對角線者為角線方形其兩形無對角線者為餘方形
甲乙丁丙方形於丙乙兩角作一線為對角線又依乙丁平行作戊己線依甲乙平行作庚辛線其對角線與戊己庚辛兩線
交羅相遇於壬即作大小四平行線方形矣則庚壬己丙及戊壬辛乙兩方形謂之角線方形而甲庚壬戊及壬己丁辛謂之餘方形
求作四則
求作者不得言不可作
第一求
自此點至彼點求作一直線
此求亦出上篇蓋自此點直行至彼點即是直線
自甲至乙或至丙至丁俱可作直線
第二求
一有界直線求從彼界直行引長之
如甲乙線從乙引至丙或引至丁俱一直行
第三求
不論大小以點爲心求作一圜
第四求
設一度於此求作彼度較此度或大或小【凡言度者或線或面或體皆是】或言較小作大可作較大作小不可作何者小之至極數窮盡故也此說非是凡度與數不同數者可以長不可以短長數無窮短數有限如百數減半成五十減之又減至一而止一以下不可損矣自百以上增之可至無窮故曰可長不可短也度者可以長亦可以短長者增之可至無窮短者減之亦復無盡嘗見莊子稱一尺之棰日取其半萬世不竭亦此理也何者自有而分不免爲有若減之可盡是有化爲無也有化爲無猶可言也令巳分者更復合之合之又合仍爲尺棰是始合之初兩無能并爲一有也兩無能并爲一有不可言也公論十九則
公論者不可疑
第一論
設有多度彼此俱與他等則彼與此自相等
第二論
有多度等若所加之度等則合并之度亦等
第三論
有多度等若所減之度等則所存之度亦等
第四論
有多度不等若所加之度等則合并之度不等
第五論
有多度不等若所减之度等則所存之度不等
第六論
有多度俱倍於此度則彼多度俱等
第七論
有多度俱半於此度則彼多度亦等
第八論
有二度自相合則二度必等【以一度加一度之上】
第九論
全大於其分【如一尺大於一寸寸者全尺中十分中之一分也】
第十論
直角俱相等【見界說十】
第十一論
有二横直線或正或偏任加一縱線若三線之間同方兩角小於兩直角則此二横直線愈長愈相近必至相遇甲乙丙丁二横直線任意作一戊己縱線或正或偏若戊己線同方兩角俱小於直角或并之小於兩直角則甲乙丙丁線愈長
愈相近必有相遇之處
欲明此理宜察平行線不得相遇者【界說卅四】加一垂線即三線之間定為直角便知此論兩角小於直角者其行不得不相遇矣
第十二論
兩直線不能為有界之形
第十三論
兩直線止能於一點相遇
如云線長界近相交不止一點試於丙乙二界各出直線交於丁假令其交不止一點當引至甲則甲丁乙宜為甲丙乙圜之徑而甲丁
丙亦如之【界說十七】夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦右半也【界說十七】甲丁乙為全甲丁丙為其分而俱稱右半是全與其分等也【本篇九】
第十四論
有幾何度等若所加之度各不等則合并之差與所加之差等
甲乙丙丁線等于甲乙加乙戊於丙丁加丁己則甲戊大於丙己者庚戊線也而乙戊大
於丁己亦如之
第十五論
有幾何度不等若所加之度等則合并所贏之度與元所贏之度等
如上圖反說之戊乙己丁線不等於戊乙加乙甲於己丁加丁丙則戊甲大於己丙者戊庚線也而戊乙大於己丁亦如之
第十六論
有幾何度等若所減之度不等則餘度所贏之度與減去所贏之度等
甲乙丙丁線等於甲乙減戊乙於丙丁減己丁則乙戊大於丁己者庚戊也而丙己大於甲戊亦如之
第十七論
有幾何度不等若所減之度等則餘度所贏之度與元所贏之度等
如十四論反說之甲戊丙己線不等於甲戊減甲乙於丙己減丙丁則乙戊長於丁己者亦庚戊也與甲戊長於丙己者等矣
第十八論
全與諸分之并等
第十九論
有二全度此全倍於彼全若此全所減之度倍於彼全所減之度則此較亦倍於彼較【相减之餘曰較】
如此度二十彼度十於二十減六於十減三則此較十四彼較七
幾何原本卷一之首
